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Lagrange Multiplikator

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Minimierungsproblem

Willibald aktiv_icon

15:04 Uhr, 20.09.2016

Hallo. Ich bin neu in dem Forum und hoffe ihr könnt mir gleich helfen. Folgende Aufgabe gilt es zu lösen:
Ein Teilchen bewegt sich entlang einer Parabel

y = x^{2}

. Gesucht ist die Position(x,y) des Teilchens, an der es der Kreislinie mit Mittelpunkt

(0,1)

und Radius

\frac{1}{2}

am nächsten kommt. Das Gleichungssystem soll nach Lagrange angeschrieben werden.
Ich habe mir gedacht die Parabel und der Kreis sind die Nebenbedingung und und der Abstand die Zielfunktion also:

\sqrt{x^{2} + y^{2}} + l \cdot (x^{2} - 1) + q \cdot (x^{2} + y^{2} - 2 y + \frac{3}{4})

Ich komme nur auf kein Ergebnis wenn ich das ableite und anschließend berechne. Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt bzw ob mein Ansatz stimmt?
Danke schon mal

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:20 Uhr, 20.09.2016

Ich verstehe Deinen Abstand nicht.
Punkte auf der Parabel haben die Form

(x, x^{2})

,
Punkte auf der Kreislinie haben die Form

(0.5 \cos (t), 1 + 0.5 \sin (t))

,
der Abstand ist also

\sqrt{(x - 0.5 \cos (t))^{2} + (x^{2} - 1 - 0.5 \sin (t))^{2}}

,
gesucht wird also

min_{x, t} (x - 0.5 \cos (t))^{2} + (x^{2} - 1 - 0.5 \sin (t))^{2} =

= min_{x, t} x^{4} - x^{2} - x \cos (t) - x^{2} \sin (t) + \sin (t) + 1.25

,
man braucht hier keine Nebenbedingungen.
Allerdings ist die weitere Rechnung sehr schwierig.

Bummerang

15:47 Uhr, 20.09.2016

Hallo,

der Abstand eines Punktes der Parabel vom Kreis ist gleich dem Abstand des Punktes der Parabel vom Mittelpunkt des Kreises minus dem Radius

\frac{1}{2}

. Ist der Abstand zum Kreis minimal, dann ist der Abstand zum Mittelpunkt des Kreises ebenfalls minimal, da der Radius konstant ist. Damit muss man nur noch

{(x - 0)}^{2} + {(x^{2} - 1)}^{2}

minimieren, was im Gegensatz zur Minimierung des Abstandes zum Kreis ein Kinderspiel ist...

Atlantik aktiv_icon

18:19 Uhr, 20.09.2016

Alternative:

y = x^{2}

x^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{1}{4}

x^{4} - x^{2} = - \frac{3}{4}

{(x^{2} - \frac{1}{2})}^{2} = - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} i^{2}

x^{2} = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i \sqrt{2}

Nächster Punkt auf der Parabel ist

x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \approx \pm 0,71 \to y = \frac{1}{2}

mfG

Atlantik

G r a p h e n :

Willibald aktiv_icon

20:16 Uhr, 20.09.2016

Es ist explizit verlangt die Aufgabe mit Hilfe von Lagrange Multiplikator zu berechnen. Ich habe mir einen Vektor von der Parabel zum Kreis vorgestellt und wollte von diesen dann den Betrag berechnen. Ich verstehe nicht wie DrBoogie auf seinen Abstand kommt. Wenn das allerdings der tatsächliche Abstand wäre könnte ich die Aufgabe doch auch mit 2 Nebenbedingungen lösen oder etwa nicht. Kann das prinzipiell so rechnen wie ich das vorhatte wenn man vom Abstand absieht?
Lg und danke für eure Hilfe

Willibald aktiv_icon

20:25 Uhr, 20.09.2016

Wenn ich das so mache wie Bumerang dann setzte ich die 1.Ableitung 0 und berechne somit den Extremwert. Allerdings komme ich da auch nicht wirklich auf ein brauchbares Ergebnis oder wie hast du die Gleichung

4 x^{3} - 2 x + 1

gelöst?

ermanus aktiv_icon

20:50 Uhr, 20.09.2016

Hallo,
ich nehme mal die von Bummerang verbesserte Form des Abstandes, nur setze ich nicht
für das

y

das

x^{2}

ein, sondern tu mal so, als ob ich nicht gemerkt hätte,
das man das ja machen kann.
Dann habe ich eine zu minimierende quadrierte Abstandsfunktion

f (x, y) = x^{2} + (y - 1)^{2}

und die Nebenbedingung

h (x, y) = y - x^{2} = 0 (*)

.
Jetzt sind wir in einer typischen Langrange-Situation.
Ein notwendiges Kriterium für das Vorliegen eines lokalen Extremums
ist nun:

Es gibt ein

λ \in ℝ

, so dass gilt:

g r a d (f) = λ \cdot g r a d (h)

.

In unserem Falle erhalten wir

(2 x, 2 (y - 1)) = λ (- 2 x, 1)

, d.h. die Gleichungen:

2 x = λ \cdot (- 2 x)

und

2 (y - 1) = λ .

Wenn

x \neq 0

, dann folgt

λ = - 1

, woraus

y = \frac{1}{2}

folgt.
Die Gleichung

(*)

liefert dann

x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}

.
Den Fall

x = 0

lasse ich aus Faulheitsgründen mal weg.
Gruß ermanus

.

Willibald aktiv_icon

21:34 Uhr, 20.09.2016

Ich verstehe nur nicht wie man auf den Abstand kommt also die Zielfunktion. Bei euch ist das die Kreisgleichung nur ich verstehe nicht warum Ich suche doch den geringsten Abstand zwischen Parabel und Kreis! Das sollte doch der Betrag des Vektors also die Länge zwischen den beiden Körpern sein.

ermanus aktiv_icon

21:37 Uhr, 20.09.2016

Klar! Aber Bummerang hat doch deutlich gemacht, dass der Abstand zum Kreis
genau dann minimal ist, wenn der Abstand zum Mittelpunkt des Kreises
minimal ist, und der ist wiederum minimal, wenn sein Quadrat
minimal ist.

ermanus aktiv_icon

21:39 Uhr, 20.09.2016

Wie ist denn die Formel für den Abstand eines Punktes (x,y)
vom Mittelpunkt (0,1) des Kreises? Und wie lautet ihr Quadrat?

Willibald aktiv_icon

21:44 Uhr, 20.09.2016

Ok ich verstehe es langsam allerdings würde ich da allein vermutlich nicht darauf kommen. Ist mein Ansatz falsch oder einfach nur kompliziert?

ermanus aktiv_icon

21:53 Uhr, 20.09.2016

Dein Ansatz, die Länge des Abstandsvektors zu minimieren war ganz OK!
D.h. Du hattest eine akzeptable Funktion

f

(in meiner Bezeichnungsweise).
Aber Du hattest nicht zwei, sondern nur eine Nebenbedingung, dass nämlich Dein
Teilchen sich auf der Parabel

y = x^{2}

bewegt, das war Dein

h

(in meiner Bezeichnungs-
weise). Bummerangs Vereinfachung war natürlich super und man kommt nicht so
unmittelbar darauf. Also war Dein Ansatz einerseits eigentlich OK, dann
ein bisschen zu verwirrt und leider nicht sehr rechenfreundlich!
Gruß ermanus

Willibald aktiv_icon

22:00 Uhr, 20.09.2016

Nein rechenfreundlich war mein Ansatz bestimmt nicht. Wenn ich aber nur die Länge des Abstandvektors minimiere und auf den Kreis gar nicht eingehe, ihn also nicht als Nebenbedingung sehe, dann ist doch der Minimalste Abstand 0. In irgendeiner Form muss ich also den Kreis mit einbeziehen.

Willibald aktiv_icon

22:00 Uhr, 20.09.2016

ermanus aktiv_icon

22:43 Uhr, 20.09.2016

Die Kreisgeschichte ist doch keine Bedingung, sondern eine Vorgabe zur
Bildung der zu minimierenden Funktion und in der Tat, wenn der Kreis
so aufgebläht würde, dass er die Parabel in 2 Punkten berührt (noch nicht in 4 Punkten
schneidet), wäre der minimale Abstand = 0. Aber wir wollen ja gar nicht wissen, wie groß der minimale Abstand ist, sondern in welchen Parabelpunkten dieses
Minimum erreicht wird!
Im Übrigen spielt der Kreis sehr wohl eine entscheidende Rolle.
Die Vereinfachung von Bummerang basierte ja darauf, dass der Kreis im Inneren
der Parabel verläuft. Wenn man den "Bummerangschen Abstand" bestimmt hat, kann man
den wahren Abstand zur Peripherie des Kreises unmittelbar angeben: man
muss doch nur die Wurzel ziehen und 1/2 abziehen. Bei beiden
Operationnen geht doch Minimales in Minimales über.
Im Übrigen unterliegt das Teilchen doch nur der Bedingung, sich auf der Parabel
zu bewegen (Zwangsbedingung nennt der Physiker das), keineswegs jedoch der Bedingung,
sich auf dem Kreis zu bewegen.
Gruß ermanus

Willibald aktiv_icon

23:11 Uhr, 20.09.2016

Ok also fassen wir zusammen. Ich habe eine Parabel gegeben und möchte wissen, an welchen Punkt der Parabel der geringste Abstand zu einem Kreis im inneren besteht. Das kann ich lösen in dem ich weiß, dass der geringste Abstand genau dort ist, wo der geringste Abstand zum Mittelpunkt des Kreises minus des Radius ist. Die Kreisgleichung beschreibt jeden Punkt, der den Abstand

r

zum Mittelpunkt hat. Kann ich also die Kreisgleichung minimieren, sprich jenen Punkt finden der den geringsten Abstand zum Mittelpunkt hat, hab ich das Beispiel gelöst. Ich muss also nur noch berücksichtigen das der Punkt auf der Parabel liegt, meine Nebenbedingung also.
Hab ich das jetzt richtig verstanden?

Atlantik aktiv_icon

11:35 Uhr, 21.09.2016

Ich habe schon gelesen, dass die Aufgabe mit Lagrangefaktor gelöst werden soll.

Darum habe ich auch Alternative geschrieben, also ein anderer Lösungsweg ohne Lagrange.

mfG

Atlantik

ermanus aktiv_icon

11:59 Uhr, 21.09.2016

Hallo Willibald,
Dein gestriger Beitrag von 20:25 beinhaltet einen Rechenfehler.
Die Ableitung lautet

4 x^{3} - 2 x

. Diese Funktion hat aber 3 offensichtliche
Nullstellen:

x_{1} = 0, x_{2} = + \sqrt{1 / 2}, x_{3} = - \sqrt{1 / 2}

.
Bei der ersten liegt ein lokales Maximum, bei den anderen beiden ein lokales Minimum
vor, wie man mit der 2-ten Ableitung rasch erkennt.
Gruß ermanus

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