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Lagrange mit 2 Nebenbedingungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Lagrange, Lambda, Nebenbedingung

Edo91 aktiv_icon

22:07 Uhr, 12.02.2016

Hallo ihr Lieben,

ich möchte die Funktion

u (x, y, z) = x \cdot z^{\frac{1}{2}} + y

mit den beiden Nebenbedingungen

x + y + z = 24

und

y = 3

mittels Lagrange-Verfahren maximieren.
Meine Lagrange-Funktion lautet dann also:

L (x, y, z, λ 1, λ 2) = x \cdot z^{\frac{1}{2}} + y + λ 1 (24 - x - y - z) + λ 2 (3 - y)

Die partiellen Ableitungen dann:

I.

z^{\frac{1}{2}} - λ 1 = 0

II.

1 - λ 1 - λ 2 = 0

III.

x \cdot \frac{1}{2} z^{\frac{1}{2}} - λ 1 = 0

IV.

24 - x - y - z = 0

3 - y = 0

Ich konnte bis jetzt nur das

y = 3

einsetzen, aber bin dann total überfordert mit den vielen Variablen. Ich komme einfach nicht darauf, wie ich das Gleichungssystem zu lösen habe. Wäre über jeden Tipp dankbar!

Mit freundlichen Grüßen,

Edo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:46 Uhr, 12.02.2016

Hallo
die

λ

sind nicht wichtig und müssen nicht berechnet werden. aber aus 1 hast du

λ_{1} = z^{\frac{1}{2}}

in 3 eingesetzt

x = 2

(für

z \neq 0

4 x

und

y

eingesetzt ergibt

z

das ist doch eigentlich einfach.

Gruß ledum

Atlantik aktiv_icon

08:19 Uhr, 13.02.2016

Weg ohne Lagrange:

u (x, y, z) = x \cdot \sqrt{z} + y

soll maximiert werden.

NB:

x + y + z = 24

und

y = 3 \to

x + z = 21 \to x = 21 - z

u (z) = (21 - z) \cdot \sqrt{z} + 3

[(21 - z) \cdot \sqrt{z} + 3]

= (- 1) \cdot \sqrt{z} + \frac{21 - z}{2 \sqrt{z}}

(- 1) \cdot \sqrt{z} + \frac{21 - z}{2 \sqrt{z}} = 0 | \cdot 2 \sqrt{z}

- 2 z + 21 - z = 0

z = 7

x = 14

y = 3

u = 14 \cdot \sqrt{7} + 3

mfG

Atlantik

Yokozuna aktiv_icon

11:15 Uhr, 13.02.2016

Hallo,

die 3. Gleichung ist nicht richtig. Richtig muss sie lauten:

x \cdot \frac{1}{2} \cdot z^{- \frac{1}{2}} - λ_{1} = 0

Zuerst würde ich die

λ

eliminieren. Das geht beim Lagrange-Formalismus immer, da die

λ

stets nur linear auftreten. Wie Ledum schon sagte, interessiert man sich für die Werte der

λ

in der Regel nicht. Deshalb kann man die 2. Gleichung weglassen. Aus der 1. Gleichung hat man

λ_{1} = z^{\frac{1}{2}}

und in die 3. Gleichung eingesetzt, ergibt das

\frac{x}{2 \cdot z^{\frac{1}{2}}} - z^{\frac{1}{2}} = \frac{x}{2 \cdot z^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{z^{\frac{1}{2}}}{z^{\frac{1}{2}}} - z^{\frac{1}{2}} = z^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{x}{2 \cdot z} - 1) = 0

Wegen

z^{\frac{1}{2}}

im Nenner muss man

z \neq 0

und damit auch

z^{\frac{1}{2}} \neq 0

voraussetzen. Deshalb muss

\frac{x}{2 \cdot z} - 1 = 0

sein, also

x = 2 \cdot z

. Zusammen mit

y = 3

erhält man aus der 4. Gleichung dann

z

usw.

Viele Grüße
Yokozuna

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