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Landau O und Regel von De L'Hopital

Universität / Fachhochschule

Differenzengleichungen

Tags: Differenzengleichung, Konvergenz, Landau Notation

trunksen aktiv_icon

18:04 Uhr, 13.03.2012

Hi!

Also, da ich hiermit schon länger Probleme beim Verständnis habe, aber immer wieder damit zu tun bekomme, möchte ich hier einmal einen Post dazu erstellen!
(Da Laufzeitschranken eher ein Problem der Informatik sind, weiß ich nicht ob es hier in diesem Forum passt, aber naja ;-)!

Es geht im Prinzip darum: Es sind ein zwei Funktionen f(n) und g(n) gegeben und man muss bestimmen, welche Funktion (ab einem gewissen

n_{0}

) eine obere Schranke für die andere Funktion bildet (also schneller wächst)!

Dies sollte mithilfe der Regel(n) von De L'Hospital geschehen und genau hier habe ich meine Probleme!
Soweit ich das verstanden habe, muss man

\frac{f (n)}{g (n)}

(wobei man dann annimmt, dass f(n) eine obere Schranke von g(n) ist) von beiden die erste Ableitung machen und wenn

\frac{f ʹ (n)}{g ʹ (n)}

dann

\frac{\infty}{\infty}

oder

\frac{0}{0}

ergibt, dann ist f(n) eine obere Schranke von g(n)!
Ist dies so richtig (mir kommt das zu einfach vor)!

Es wäre nett wenn vielleicht jemand dies anhand von dem Beispiel

f (n) = 2^{n}, g (n) = n^{l o g n}

zeigen könnte!

Vielen Dank

trunksen

CKims aktiv_icon

00:25 Uhr, 14.03.2012

"Es geht im Prinzip darum: Es sind ein zwei Funktionen

f (n)

und

g (n)

gegeben und man muss bestimmen, welche Funktion (ab einem gewissen

n 0)

eine obere Schranke für die andere Funktion bildet (also schneller wächst)!"

diese aussage stimmt nicht genau... es geht vielmehr darum herauszufinden, ob

f

nicht wesentlich schneller waechst als

g

(oder umgekehrt). man kann hoechstens davon reden, dass

f

asymptotisch eine obere schranke von

g

ist (oder umgekehrt). weiterhin geht es also nicht darum herauszufinden, welche obere schranke der anderen ist, sondern ob beide ungefähr den gleichen aufwand beschreiben... was damit genau gemeint ist, wird mit

lim_{n \to \infty} | \frac{f (n)}{g (n)} | < \infty

definiert, wobei das jetzt das big Oh ist... genauer ist das eigentlich der limes superior, aber meist reicht auch der limesbegriff...

du musst also gucken ob der grenzwert existiert... oder mit anderen worten gucken ob da eine endliche zahl rauskommt... wenn ja, dann sagt man, dass

f

nicht wesentlich schneller waechst als

g

l'

hopital ist nur eine moeglichkeit, um diesen grenzwert zu bestimmen... aber gibt es noch viele andere methoden... damit du ueberhaupt

l'

hopital anwenden kannst musst du einen term der form

\frac{0}{0}

oder

\frac{\infty}{\infty}

haben. erst dann darfst du ableiten.

dein beispiel ist eine von der schwereren sorte... probier das mal fuer

f (n) = n^{2} + 7

g (n) = 7 n + 9

trunksen aktiv_icon

15:42 Uhr, 20.03.2012

Hi!
Tut mir leid, dass ich erst jetzt Zeit habe zum Antworten!

>diese aussage stimmt nicht genau... es geht vielmehr darum herauszufinden, ob f nicht >wesentlich schneller waechst als g (oder umgekehrt). man kann hoechstens davon reden, dass >f asymptotisch eine obere schranke von g ist (oder umgekehrt). weiterhin geht es also nicht >darum herauszufinden, welche obere schranke der anderen ist, sondern ob beide ungefähr den >gleichen aufwand beschreiben... was damit genau gemeint ist, wird mit .....

Ok, dass habe ich verstanden!

>dein beispiel ist eine von der schwereren sorte... probier das mal fuer

Wegen der Ableitung der Therme oder?

>f(n)=n2+7

>g(n)=7n+9

gut, also ich habe jetzt :

\frac{f (n)}{g (n)} = \frac{n^{2} + 7}{7 n + 9}

und der (limes oder die Funktion?) ergibt

\frac{\infty}{\infty}

!

so, also die erste Ableitung:

\frac{f ʹ (n)}{g ʹ (n)} = \frac{2 n}{7}

und

lim_{n - > \infty} = \infty

, also keine endlich Zahl =>

f (n)

beschränkt asymptotisch

g (n)

2. Beispiel:

\frac{f (n)}{g (n)} = \frac{n^{3}}{n^{2}}

\frac{\infty}{\infty}

1. Ableitung:

\frac{f ʹ (n)}{g ʹ (n)} = \frac{3 n^{2}}{2 n}

2. Ableitung weiter:

\frac{f ʺ (n)}{g ʺ (n)} = \frac{6 n}{2}

\infty

daher wie oben.

oder mache ich noch immer etwas falsch?

mfg trunksen

CKims aktiv_icon

22:15 Uhr, 20.03.2012

prinzipiell richtig aber die schlussfolgerung ist

lim = \infty

dann waechst

f

wesentlich schneller als

g . .

. oder

g

beschraenkt

f

nicht asymptotisch

zweite aufgabe genauso

lg

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