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Landau Symbole Erklärung anhand eines Beispiels

Universität / Fachhochschule

Tags: landau symbol

anonymous

19:15 Uhr, 21.12.2015

Hallo,

ich verstehe die Landau Symbole nicht. Ich weiß, nach googlen bzw in meinem Vorlesungscript sollte ich nach schauen.Das habe ich getan, aber ich verstehe es nicht ganz .

Es wäre nett, wenn einer mir die Landau Symbole anhand Aufgabe

a)

erklären könnt. Das würde mir reichen.

Vielen dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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19:42 Uhr, 21.12.2015

Bei

x \geq 1

gilt

e^{\sqrt{x}} \leq e^{x}

. Das bedeutet, dass

e^{\sqrt{x}} = O (e^{x})

bei

x \to \infty

.

Da

\frac{e^{\sqrt{x}}}{e^{x}} = e^{\sqrt{x} - x} \to 0

bei

x \to \infty

, gilt auch

e^{\sqrt{x}} = o (e^{x})

.

Deswegen kann

e^{x} = O (e^{\sqrt{x}})

oder gar

e^{x} = o (e^{\sqrt{x}})

nicht mehr gelten.

anonymous

19:49 Uhr, 21.12.2015

wow, vielen dank, ich habe es soweit verstanden.
Ich habe aber noch Rückfragen und zwar :
1. Es gilt

f (x) = O (g (x)),

wenn :
Rechnung

: lim x \to a \frac{f (x)}{g (x)} = 0

2. Es gilt

f (x) = o (g (x)),

wenn :

lim

x->unendlich

\frac{f (x)}{g (x)} <

unendlich

3.Es gilt

g (x) = o (f (x))

4. Es gilt

g (x) = O (f (x))

Bei 3. und 4. Wie überprüft man die beiden ?

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19:59 Uhr, 21.12.2015

Nein, da hast Du die Definitionen verwechselt.

f = O (g)

bedeutet, dass

f \leq C g

mit einem

C

. Da ist nicht gefordert, dass irgendwelcher Grenzwert existiert.

f = o (g)

, wenn

\frac{f}{g} \to 0

anonymous

20:04 Uhr, 21.12.2015

Ja, ich habe mich tatsächlich verwechselt, habe es nochmal in meinem Vorlesungscript geschaut .

Ich habe noch Fragen :

1. Haben Sie bei e^wurzelx

= o (e^{x}),

den limes berechnet für

x \to

uendlich ?
2. Und was gilt bei den andern beiden also bei

3.4

. bzgl meiner vorherigen Fragen ?

Und zur Aufgabe

b)

f (x) = \frac{e^{x}}{x}; g (x) = x^{3}

f = o (g)

gilt nicht weil :

lim

x->unendlich

\frac{\frac{e^{x}}{x}}{x^{3}} =

unendlich*unendlich = unendlich , wobei

(\frac{f}{g}) \to 0

gehen muss, damit

f = o (g)

gilt.

ist das soweit richtig ?

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20:27 Uhr, 21.12.2015

"1. Haben Sie bei e^wurzelx =o(ex), den limes berechnet für x→ uendlich?"

Ja, bei mir steht

e^{\sqrt{x} - x} \to 0

. Das folgt daraus, dass

\sqrt{x} - x \to - \infty

"2. Und was gilt bei den andern beiden also bei 3.4. bzgl meiner vorherigen Fragen?"

Wenn schon gezeigt ist, dass

f = o (g)

, dann kann

g = o (f)

und

g = O (f)

nicht mehr stimmen.
Daher muss man das nicht mehr zeigen.
Der Beweis von

f = o (g)

g \neq o (f)

und

g \neq O (f)

ist einfach, Du kannst ihn selber machen.

"1. f=o(g) gilt nicht weil :
lim x->unendlich exxx3= unendlich*unendlich = unendlich , wobei (fg)→0 gehen muss, damit f=o(g) gilt.

ist das soweit richtig ?"

Das Ergebnis ist richtig, die Argumentation nicht. Hier muss man nutzen, dass

\frac{e^{x}}{x^{n}} = \infty

für jedes

n

(folgt aus L'Hospital).

anonymous

20:33 Uhr, 21.12.2015

Können Sie bitte trotzdem sagen, was für 3. und 4. gelten muss ?
Ich habe es verstanden was Sie geschrieben haben, ich möchte es aber trotzdem wissen, denn ich überprüfe alle vier aussagen, ich sehe nämlich nicht direkt, welche aussagen gelten oder nicht.

Bei der Aufgabe

b)

brauche ich Hilfe. Können Sie mir bitte einen Ansatz geben?

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20:55 Uhr, 21.12.2015

f = o (g)

und

g = o (f)

sind doch symmetrisch. Wenn Du weißt, wie Du

f = o (g)

prüfst, weißt Du auch, wie Du

g = o (f)

prüfst. Nämlich ob

\frac{g}{f} \to 0

.
Also verstehe ich Deine Frage nicht.

In

b

ist

x^{3} = o (\frac{e^{x}}{x})

, aus dem von mir schon benannten Grund:

\frac{e^{x}}{x^{n}} \to \infty

für jedes

n

. Also, es gilt auch

x^{3} = O (\frac{e^{x}}{x})

(aus o folgt immer O). Die anderen zwei können dann nicht mehr gelten.

anonymous

21:01 Uhr, 21.12.2015

Ah ok dankeschön, und nein es ist mir nicht bewusst dass

f

und

g

symmetrisch sind.

Die stelle

x^{3} = o (\frac{e^{x}}{x})

auf

\frac{e^{x}}{x^{n}}

ist mir nicht ganz klar.

Ich dachte man müsste hier

\frac{g}{f}

für

lim x \to

unendlich berechnen ? und der term soll dann gegen 0 gehen.

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21:06 Uhr, 21.12.2015

Nicht

f

und

g

sind symmetrisch, sondern die Definition.
Wenn in der Definition

g = o (f)

steht, dann kann es genauso gut

f = o (g)

heißen oder

h = o (g)

oder wie auch immer. Buchstaben sind komplett austauschbar, das sind nur Bezeichnungen.

Auf

\frac{e^{x}}{x^{n}}

bin ich gekommen, weil wir genau so eine Aufgabe haben. Wie müssen

\frac{e^{x}}{x}

und

x^{3}

vergleichen, was darauf hinaus kommt, die Grenzwerte

\frac{e^{x} / x}{x^{3}} = \frac{e^{x}}{x^{4}}

und

\frac{x^{3}}{e^{x} / x} = \frac{x^{4}}{e^{x}}

zu untersuchen.

Versuch ein bisschen nachzudenken, bevor Du Fragen stellst, ich fühle mich schon wie im Kindergarten.

anonymous

21:12 Uhr, 21.12.2015

Ja, ich dachte man sollte das hier berechnen :
also

lim x

gegen unendlich

\frac{x^{4}}{e^{x}}

Und deswegen frage ich mich wieso sie auf

\frac{e^{x}}{x^{4}}

gekommen sind. Denn für

g = o (f)

gilt ja

(\frac{g}{f}) \to 0

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21:24 Uhr, 21.12.2015

\frac{e^{x}}{x^{4}} \to \infty

ist dasselbe wie

\frac{x^{4}}{e^{x}} \to 0

anonymous

22:28 Uhr, 21.12.2015

Vielen Dank

anonymous

22:33 Uhr, 21.12.2015

Danke

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