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Laplace-Experiment
Universität / Fachhochschule
Wahrscheinlichkeitsmaß
Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß
 
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Ich habe Fragen zur folgender Aufgabenstellung. >>Acht Studenten belegen eine Veranstaltung und müssen sich für eine Übungsgruppe anmelden. Es gibt drei Übungsgruppen zur Auswahl, jeweils mit unbeschränkter Kapazität. Da sich die Studenten nicht kennen und keine Präferenzen bezüglich der Gruppe haben, wählt jede Person zufällig und unabhängig von den anderen eine Gruppe.<< (a) Modellieren Sie das beschriebe Szenario als Laplace Experiment durch Angaben einer geeigneten Ergebnismenge . Was ist die Mächtigkeit von ? I. Die Mächtigkeit von ist definiert als die Menge aller Ereignisse. Sofern ich das Richtig verstehe lässt sich die Mächtigkeit mittels der Theorie des Urnenmodells berechnen. Gemäß meinen Lösungen ist das Ergebnis . Unter meinen Annahmen würde es sich somit um eine Kombination mit Wiederholung und mit Berücksichtigung der Reihenfolge handeln. Also gilt die Formel . II. Der zweite Aufgabenteil handelt davon das es am Ende ein Gruppe mit zwei Personen und zwei Gruppen mit je drei Personen gibt. In der Lösung steht: Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B = {ω ∈ Ω : genau fünf haben Wert 2} lässt sich wie folgt berechnen: Für die Wahl der fünf Personen, die die zweite Gruppe wählen gibt es Möglichkeiten. Die verbleibenden drei Personen verteilen sich beliebig auf die zwei verbliebenen Gruppen. Für Letzteres gibt es mögliche Kombinationen. Meine Frage wäre hierzu folgende. Ich gehe wieder davon aus das sich die günstigen fälle mittels Urnenmodell berechnen lassen. Dementsprechend müsste für die gelten das es sich um eine Kombination ohne Wiederholung und Ohne Beachtung der Reihenfolge handelt und bei um mit Reihenfolge und mit Wiederholung. Sofern das korrekt ist verstehe ich nicht wie man zu dieser Kombination kommt. Desweiteren stellt sich mir die frage: Ob die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet über das Produkt nur funktioniert unter der annahme der stochastischen Unabhängigkeit. Sry das es so lange geworden ist. Ich freue mich über jede Antwort danke im Voraus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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I. "Kombination [...] mit Berücksichtigung der Reihenfolge" nennt man im Deutschen auch "Variation". Denn eigentlich ist der Begriff "Kombination" reserviert für Auswahlen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Von dieser begrifflichen Korrektur abgesehen ist dein hier richtig. II. > Der zweite Aufgabenteil handelt davon das es am Ende ein Gruppe mit zwei Personen und zwei Gruppen mit je drei Personen gibt. Mir ist nicht ganz klar, in welchem Zusammenhang das stehen soll zu deinen folgenden Ausführungen, wo FÜNF (!) Personen die Gruppe 2 wählen - da geht es doch offenbar um eine andere Konstellation! Die Auswahl der 5 aus 8 ergibt die Möglichkeiten für die Zusammensetzung der Gruppe 2. Von den restlichen drei Leuten kann sich jeder getrennt von den anderen für Gruppe 1 oder 3 entscheiden, ergibt jeweils 2 Auswahlmöglichkeiten für drei unterscheidbare Leute, das macht nun mal . > Ob die Gesamtwahrscheinlichkeit berechnet über das Produkt nur funktioniert unter der annahme der stochastischen Unabhängigkeit. Es werden hier nicht Wahrscheinlichkeiten sondern Anzahlen multipliziert, weil es für jede der Möglichkeiten der Bildung von Gruppe 2 je Möglichkeiten gibt, die Gruppen 1 und 3 zu bestücken. Das Ergebnis ist dann nun mal das Anzahlprodukt. Und da wir uns in einem Laplaceschen W-Raum befinden, wird am Ende diese günstige Anzahl durch die Gesamtanzahl dividiert. |
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II: Ich würde das so rechnen: |
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@KL700 Du beziehst dich vermutlich auf eben jene andere Konstellation > Der zweite Aufgabenteil handelt davon das es am Ende ein Gruppe mit zwei Personen und zwei Gruppen mit je drei Personen gibt. Aber auch dann ist deine Antwortanzahl nicht richtig: Sie gilt nämlich nur, wenn bekannt ist welche der drei Gruppen jene ist mit genau zwei Personen. Wenn das offen bleibt, ist deine Anzahl noch mit 3 zu multiplizieren, d.h. . |
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Da bin ich wohl in der Zeile verutscht: die entsprechende aufgabe war << Genau 5 Personen wählen die zweite Gruppe>> D.h. das Produkt der Kombinationsmöglichkeiten beider Fälle: Fall 1: Genau 5 wählen die zweite Gruppe Fall 2: Die verbleibenden 3 Personen verteilen sich beliebig auf die zwei verbliebenen Gruppen. ergeben die Anzahl aller günstigen Fälle. Was ich immer noch nicht ganz verstehe ist wie ich die Fälle richtig einer Kombination zuordne , wieso verwende ich bei Fall 1 (Ohne Reihenfolge und Ohne Wdh.). Also spielt es bei den 5 Studenten keine Rolle in welcher Reihenfolge sie die Gruppe auswählen, (Sprich es ist egal ob zuerst Student die Gruppe 2 wählt oder ein anderer student. Wie ist dan aber die Wiederholung zu interpretieren. Also ich habe Probleme die fälle, den vier verschiedenen Modellen für Kombinationen, abhängig von der Bedeutung der Reihenfolge und den Wiederholungen, zuzuordnen. Nachtrag: Angenommen ich Interpretiere den Ersten fall als eine Urne mit 8 Kugeln aus der ich 5 Kugeln nacheinander ziehe, dann kann ich sagen es handelt sich um ein ziehen ohne zurücklegen. In der Urne sind 5 Günstige Kugeln und 3 ungünstige. da es keine Rolle spielt in welcher Reihenfolge ich ziehe. Führt dieses Modell zu . Nach dieser Ziehung betracht ich für die 3 letzten kugeln eine andere Modellierung: Ich gehe von einer Urne mit 3 Kugeln aus, aus welcher ich 3 mal ziehe mit zurücklegen. Da jede Reihenfolge meine Anzahl an Möglichkeiten erhöht muss die Reihenfolge berücksichtigt werden, da sie einer weiteren Kombination entspricht. Mit dieser Interpretation käme ich auf das richtige Ergebnis, allerdings klingt das für mich doch sehr gebastelt |
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> Wie ist dan aber die Wiederholung zu interpretieren. Du bringst Äpfel mit Birnen durcheinander. 1. Wenn es darum geht, ALLE Gruppenzusammenstellungen zu berechnen, dann betrachtet man das ganze als eine Auswahl von 8 Nummern aus der Gruppennummernmenge {1,2,3} MIT Wiederholung, weil natürlich eine Gruppe auch mehr als einen Studenten enthalten kann, und MIT Berücksichtigung der Reihenfolge, weil diese Reihenfolge HIER (!) die Unterscheidbarkeit der Studenten gewährleistet. 2. Wenn es aber darum geht, alle Gruppenzusammenstellungen zu berechnen, wo in der zweiten Gruppe genau 5 Studenten sind, dann sind die Rollen komplett anders: Diesmal werden 5 aus der Menge aller 8 Studenten ausgewählt, und hier natürlich OHNE Wiederholung, weil ja kein Student hier mehrfach gezählt werden soll, und OHNE Reihenfolge, weil es nur um die Menge der Studenten in der Gruppe geht, nicht aber um irgendeine Reihenfolge der Zeitpunkte, in denen der Gruppenbeitritt erfolgt - um DIESE Reihenfolge geht es bei 1. ja auch nicht. Man muss also schon ein bisschen über die Modellierung nachdenken, und nicht einfach nur rumklagen: "Warum bei 1. mit Wiederholung und nun bei 2. plötzlich nicht?" |
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