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Laplace Tansformation: Sprungfunktion mal cos

Universität / Fachhochschule

Tags: Faltung, Laplace Transformation, Sprungfunktion

ElectricEngineers aktiv_icon

11:41 Uhr, 28.01.2020

Hallo,

ich habe ein Problem bei der Transformation der folgenden Zeitfunktion:

u (t) = ε (t) \cdot c o s (w t)

Wenn ich im Zeitbereich eine Faltung von zwei Funktionen habe, dann ist dann davon die Laplace Transformation eine Multiplikation der zwei Funktion. Aber in diesem Fall habe ich wenn ich richtig gucke eine Multiplikation von zwei Funktionen in Zeitbereich. Ist dann davon die Laplace Transformierte eine Faltung?

Wenn Ja, müsste ich folgendes bekommen:

U (s) = \frac{1}{s} * \frac{s}{s^{2} + w^{2}}

(Wenn das richtig wäre, wie würde diese Faltung gelöst werden?)

Aber laut der Lösung habe ich folgendes:

U (s) = \frac{s}{s^{2} + w^{2}}

Und das verstehe ich nicht, wie kommt das?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

15:07 Uhr, 28.01.2020

Ich nehme an, dass ihr mit

ε (t)

den Einheitssprung, also die Heaviside Sprungfunktion (meist mit

Θ (t)

bezeichnet) meint.
Die Multiplikation mit dieser stellt doch nur sicher, dass die zu transformierende Funktion für

t < 0

den Wert 0 annimmt, wie das für die Laplace Trafo Voraussetzung ist. Meist wird diese Multiplikation mit dem Einheitssprung gar nicht angegeben.
Wenn du also in einer Tabelle liest, dass die Transformierte von

sin (a \cdot t)

im Bildbereich

\frac{a^{2}}{a^{2} + s^{2}}

ist, dann ist implizit immer eigentlich

Θ (t) \cdot sin (a \cdot t)

als Funktion im Zeitbereich gemeint.
In Tabellen wirst du oft auch die Korrespondenz

1 \to \frac{1}{s}

finden, obwohl es korrekterweise

Θ (t) \to \frac{1}{s}

lauten müsste. Man geht einfach davon aus, dass Funktionen, die einer Laplace-Trafo unterzogen werden, in

ℝ^{-}

den Funktionswert Null haben.
Oft wird das bei den Korrespondenztabellen zu Beginn oder in einer Fußnote definiert, wie zum Bsp. bei Tante Wiki über der Tabelle

\to

de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation#Korrespondenztabelle

Und ja, eine Multiplikation im Zeitbereich entspricht eine Faltung im Bildbereich. Aber eben nicht wieder eine Multiplikation, so wie du das angegeben hast.
Siehe vorletzte Zeile in der Tabelle

\to

de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation#Allgemeine_Eigenschaften
EDIT: Sehe gerade, dass du ohnedies das

⋆

Symbol für die Faltung und nicht für die Multiplikation verwendet hast.

ElectricEngineers aktiv_icon

19:28 Uhr, 28.01.2020

Alles klar, Vielen Dank für deine Antwort.
Ich werde mich da noch weiter reinlesen um das besser nachvollziehen zu können.

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