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Laplace und Binomialverteilung

Schüler Oberstufenrealgymnasium,

Tags: Arten, berechnen, Binomialverteilung, Elementarereignisse, laplace, unterschied

PaulPoandl aktiv_icon

16:34 Uhr, 13.11.2023

Hallo, ich hätte eine Frage!

Bei der Laplace Verteilung müssen ja die Elementarereignisse mit dem Grundraum Omega die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, und so kann man zum Beispiel ja wenn man zwei sechseitige Wüferl nimmt und die Bedingung ist, dass man die Wahrscheinlichkeit der Augensummen der zwei Würfeln berechnen muss, die Laplace Wahrscheinlichkeit nehmen, da ja für jedes Elementarereignis die Wahrscheinlichkeit gleich ist, nämlich

\frac{1}{36}

.
So ist es ja auch wenn man zum Beispiel wenn die Aufgabe ist, dass man die Wahrscheinlichkeit berechnen soll, dass jemand in einer Klasse dran kommt zur Verbesserung der Hausübung, und in der Klasse 7 Mädchen und 3 Buben sind. So ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen dran komm

\frac{7}{10}

und ein Bube

\frac{3}{10}

. Aber man könnte ja auch aller Elementarereignisse aufschreiben und so rechnen, dann würde man ja auch auf das gleiche Ergebnis kommen.

Kann man solche Beispiele aber nicht auch mit der Binomialverteilung lösen und gibt es eine Regel wie man erkennen kann ob man nun die Binomialverteilung nehmen soll oder die Laplace Wahrscheinlichkeit, oder ist beides mehr oder weniger dasselbe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

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16:54 Uhr, 13.11.2023

Hallo,

erst einmal etwas Grundsätzliches: Allgemein unterscheidet man unter anderem Aufgaben "mit Zurücklegen" und "ohne Zurücklegen".

Wenn man würfelt, dann ist es im Allgemeinen ein Problem mit Zurücklegen. Wenn man eine Zahl, z.B. 4, gewürfelt hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mit dem zweiten Wurf noch eine 4 würfelt wieder

\frac{1}{6}

. Also ist die Wahrscheinlichkeit zwei 4er zu würfeln gleich:

\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}

Edit:
Diese Aufgabe kann man auch mit Hilfe der Binomialverteilung lösen:
x=Anzahl an 4er bei zwei Würfe(l)n. Hier ist

n = 2, x = 2

und

p = \frac{1}{6}

P (X = 2) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{0} = 1 \cdot \frac{1}{36} \cdot 1 = \frac{1}{36}

Anders verhält es sich, wenn man erst einen Buben auswählt. Die Wahrscheinlichkeit ist hier

\frac{3}{10}

. Wenn man jetzt noch einen zweiten Buben auswählt, kann man nicht den gleichen Buben auswählen und hat nur noch 2 Buben aus denen man auswählen kann. Und man hat auch nur noch 9 Schüler (7 Mädchen/2 Jungen) aus denen man auswählen kann. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass man zweimal einen Buben auswählt gleich

\frac{3}{10} \cdot \frac{3 - 1}{10 - 1} = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}

Gruß
pivot

PaulPoandl aktiv_icon

17:01 Uhr, 13.11.2023

Hallo,

oke danke, aber wie unterscheide ich jetzt zwischen Laplace Verteilung und Binomial Verteilung?

lg

pivot aktiv_icon

17:04 Uhr, 13.11.2023

Schau dir noch kurz das Edit an.

Was genau meinst du mit Laplace-Verteilung?

Diese wirst du wohl kaum meinen: de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Verteilung

PaulPoandl aktiv_icon

17:34 Uhr, 13.11.2023

Also, nein dass meine ich nicht, bei mir in Buch steht es so, dass diskrete Zufallsvariablen aus dem Grundraum

ω

aufgebaut sind, so kann man laut buch, wenn man zum Beispiel ein Beispiel nimmt, welches besagt dass ein sechseitiger Würfel zweimal geworfen wird und die Bedingung ist, dass man zwei sechser Würfel, es auf zwei Wege machen, man könnte es mit der diskreten Zufallsvariable machen:

\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}

oder man macht es mit der Laplace Wahrschenilichkeit:

da ist dann der Grundraum

ω

alle möglichen Ergebnisse die es gibt wenn man zweimal einen Würfel hinterneinader wirft, welche insgesamt

36

sein würden, weil 6 mal 6 alle möglichen Ausgänge gibt, dann wäre damit die Wahrscheinlichkeit:

\frac{1}{36}

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18:08 Uhr, 13.11.2023

Da alle Kombinationen(Elementarereignisse) die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, hat man einen Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum.

Alle Kombinationen haben die Wahrscheinlichkeit 1/36. Die Kombination (6/6) ist eine davon. Deswegen kann man die Anzahl der günstigen Ereignisse (hier 1) durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse teilen:

\frac{Anzahl günstige Ereignisse}{Anzahl möglicher Ereignisse} = \frac{1}{36}

Siehe auch die folgende Tabelle (im Anhang) Es gibt nur ein günstiges Ereignis, nicht zwei.

Für eine 3 und eine 4 gibt es aber zwei günstige Ereignisse. Deswegen ist die Wahrscheinlichkeit in diesem Fall gleich

\frac{2}{36} = \frac{1}{18}

Antwort editiert um 18:12 Uhr

PaulPoandl aktiv_icon

18:13 Uhr, 13.11.2023

oke, danke, aber wie kann ich jetzt die Binomialverteilung von der diskreten Zufallsvariabel (Laplace Verteilung) unterscheiden?

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18:34 Uhr, 13.11.2023

Erst einmal: Die Binomialverteilung ist eine diskrete Verteilung bzw. die Zufallsvariable ist diskret.

Die Frage stellt sich so eigentlich nicht.

Wenn die Elementarereignisse alle die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, dann kannst du eine beliebige Wahrscheinlichkeit mit

\frac{Anzahl günstige Ereignisse}{Anzahl mögliche Ereignisse}

berechnen. Hier wählst du nur einmal aus.

Wenn du jetzt zweimal oder mehr auswählst/ziehst, dann musst du berücksichtigen ob das gezogene Element (Mädchen, rote Kugel, etc. ) wieder gewählt werden kann (mit Zurücklegen) oder nicht (ohne Zurücklegen).

Wenn es mit Zurücklegen ist, dann kannst du z.B. die Binomialverteilung verwenden. Die Wahrscheinlichkeit eine sechs zu Würfeln ist immer

\frac{1}{6}

und keine sechs zu Würfeln immer

\frac{5}{6}

. So ist z.B. die Wahrscheinlichkeit bei 5 Würfen zweimal 6 zu Würfeln und dreimal keine 6 sechs zu würfeln gleich

P (X = 2) = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{2} \cdot {(\frac{5}{6})}^{3} \approx 16, 08 %

Die Binomialverteilung kannst du nicht verwenden, wenn du ohne Zurücklegen eine Wahrscheinlichkeit berechnest, wie bei deinem Beispiel mit den Mädchen und Buben.

PaulPoandl aktiv_icon

19:01 Uhr, 13.11.2023

Danke

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19:10 Uhr, 13.11.2023

Gerne.

HAL9000

09:29 Uhr, 14.11.2023

Kleine Ergänzung zur Sprachregelung:

Man spricht von Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum, und zugehörig Laplacescher Wahrscheinlichkeit "Anzahl günstiger / Anzahl aller Elementarereignisse", aber in dem Zusammenhang NICHT von Laplace-Verteilung! Letzterer Begriff ist für eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Verteilung

reserviert, die (schon der Stetigkeit wegen) nichts mit dem Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum zu tun hat. Der Herr Laplace war eben ein umtriebiger Mathematiker. ;-)

PaulPoandl aktiv_icon

13:02 Uhr, 14.11.2023

Oke, danke

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