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Lebesgue-Integral: Satz der dominierten Konvergenz

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Maßtheorie

Tags: Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Integration, Maßtheorie

Daniel02 aktiv_icon

10:48 Uhr, 16.11.2023

Ich habe folgende Funktion:

f_{n} (x) = n e^{- n x} \cdot 1_{[0, 1]} (x)

Zu zeigen ist nun:

1) es existiert eine messbare Abbildung

f

mit

f_{n} \to f

fast überall
2) zeige:

{lim}_{n \to \infty} \int f_{n} d λ \neq \int lim_{n \to \infty} f_{n} d λ

----------------
Meine Ansätze:

1)

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = {(\binom{lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^{n x}} = 0 f ü r x \in (0, 1]}{\infty}) f ü r x = 0

lim_{n \to \infty} \int f_{n} d λ = lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} n e^{- n x} d λ = lim_{n \to \infty} - e^{- n x} ∣_{0}^{1} d λ = 1

und

\int lim_{n \to \infty} f_{n} d λ = \int_{0}^{1} f (x) d λ = = 0

Aber ich scheitere an der Begründung warum der Satz der dominierten Konvergenz jetzt nicht anwendbar ist? Welche Vorraussetzung ist hier verletzt?

Gibt es hier einfach keine Majorante weil die

f_{n}

nahe bei 0 beliebig groß werden können?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

12:21 Uhr, 16.11.2023

> Gibt es hier einfach keine Majorante weil die

f_{n}

nahe bei 0 beliebig groß werden können?

Das allein ist kein Grund: Es gibt auch unbeschränkte Funktionen, die dennoch integrierbar sind. Aber offenbar hier nicht als Majorante, denn sonst würde der Satz ja greifen.

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Betrachten wir

h_{x} (t) = t e^{- t x}

, also bei festem

x \in [0, 1]

, dann ist

h_{x} ´ (t) = (1 - t x) e^{- t x}

, d.h. das Maximum wird bei

t = \frac{1}{x}

angenommen. Ok, diese

t

sind i.d.R. nicht ganzzahlig, aber auch für ganzzahlige

n

gilt dann

f_{n} (x) = h_{x} (n) \leq h_{x} (\frac{1}{x}) = \frac{1}{x e}

.

Damit wäre

g (x) = \frac{1}{x e} \cdot 1_{[0, 1]} (x)

eine Majorante, die aber eben leider nicht integrierbar ist.

Daniel02 aktiv_icon

13:10 Uhr, 16.11.2023

Danke :=)

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