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Leere Menge = kompakt?
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: abgeschlossen, Beschränkt, kompakt, kompaktheit, Leere Menge, Mengentheoretische Topologie, Offen
 
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Hallo, eine ganz kurze Frage: Ist die leere Menge kompakt? Kompakt heißt ja, eine Menge muss abeschlossen und beschränkt sein. Wie ist es aber mit der leeren Menge, die beschränkt, aber gleichzeitig offen und abgeschlossen ist? Ist sie trotzdem kompakt? Vielen Dank für eure Antworten! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo, soltle sich ergooglen lassen. Ich denke, dass man bei kompakten Mengen die leere Menge explizit herauslässt. Es gibt ja den Satz von Weierstrass, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen Minimum und Maximum annehmen. Funktionen auf der leeren Menge nehmen gar keinen Funktionswert an. Mfg Michael |
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Ich hab schon ausgiebig gegoogelt...hab auch einmal in einem Forum gefunden, dass allgemein gesagt wird, dass die leere Menge kompakt ist, der oder diejenige hat es aber nicht nachgewiesen. Deshalb hab ich noch keine zufriedenstellende Antwort gefunden. |
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Hi, die leere Menge sollte eigentlich kompakt sein. Denn wenn du eine beliebige offene Überdeckung nimmst, dann ist , und somit ist jede offene Überdeckung insbesondere eine offene Überdeckung der leeren Menge. Und insbesondere ist jede endliche Teilüberdeckung eine Überdeckung der leeren Menge... Daher, streng nach Definition, sollte das gelten. Das Problem mit den Maximas und Minimas lässt sich wohl damit erklären, dass (meiner Meinung nach) der Definitionsbereich einer Abbildung nie leer sein darf, daher lässt sich der Satz über Maximas und Minimas auf die leere Menge nicht anwenden... Lieben Gruß Sina |
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Okay, vielen Dank euch beiden! :-) |
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