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Leibnitz-Kriterium

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Leibnizkriterium

SoNyu

13:57 Uhr, 04.12.2013

Hi,

ich soll eine Aussage über die Konvergenz folgender Reihe treffen:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} \cdot n^{2} + 3 n}{n^{3} + 7}

Ich möchte nun die beiden Parialsummen für gerades und ungerades n angucken, also

\sum_{n = 2 k}^{\infty} \frac{n^{2} + 3 n}{n^{3} + 7}

Für n gerade

und

\sum_{n = 2 k + 1}^{\infty} \frac{- n^{2} + 3 n}{n^{3} + 7}

für n ungerade.

Mit

k \in ℕ

(Kann man das so schreiben)

Leider weiß ich nicht so genau wie ich jetzt weiter vorgehen könnte.
Das Leibniz-Kriterium kann ich ja eigentlich gar nicht anwenden.

Das notwendige Kriterium wäre schon mal erfüllt, es handelt sich in beiden Fällen um Nullfolgen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

14:02 Uhr, 04.12.2013

Hallo,

Du kannst den Reihenterm in eine Summe zerlegen: Wenn dann die einzelnen Reihen konvergieren, dann auch die Gesamtreihe.

Gruß pwm

SoNyu

14:08 Uhr, 04.12.2013

Das verstehe ich jetzt gerade nicht so ganz.

Ich habe ja meine ursprüngliche Reihe in zwei weitere Summen zerlegt. Für gerades und ungerades n. Jetzt würde ich gerne zeigen, dass beide konvergieren. Und so auf die Konvergenz der ursprünglichen Reihe schließen.

Bei der Summe für gerades n habe ich gedacht ich könnte sie vielleicht eine konvergente Majorante finden. Bei der Summe für ungerades n möglicherweise mit dem Leibniz-Kriterium arbeiten.

pwmeyer aktiv_icon

14:20 Uhr, 04.12.2013

Hallo,

ich dachte mehr an:

\sum \frac{{(- 1)}^{n} \cdot n^{2}}{n^{3} + 7} + \sum \frac{3 \cdot n}{n^{3} + 7}

Gruß pwm

SoNyu

14:26 Uhr, 04.12.2013

Ah, okay. Ja das macht Sinn. Jetzt kann ich auf die erste Summe sehr gut das Leibniz-Kriterium anwenden und die zweite Summe könnte ich doch durch

\sum \frac{3 n}{n^{3} + 7} \leq \sum \frac{1}{n^{2}}

abschätzen. Das dies konvergent ist, haben wir bewiesen.
Wäre das richtig?

pwmeyer aktiv_icon

21:17 Uhr, 04.12.2013

Hallo,

kannst Du Deine Abschätzung beweisen? Auch die Anwendung des L-Kriteriums erfordert Nachweise!

Gruß pwm

SoNyu

21:24 Uhr, 04.12.2013

Ich entferne die 7 aus dem Nenner. Dadurch mache ich den Nenner kleiner und somit den Bruch größer. Also gilt:

\sum \frac{3 n}{n^{3} + 7} \leq \sum \frac{3 n}{n^{3}} = \sum \frac{3}{n^{2}} = 3 \sum \frac{1}{n^{2}}

Um das Leibnitz-Kriterium anwenden zu können muss ich ja zeigen, dass es sich bei

\frac{n^{2}}{n^{3} + 7}

um eine monotone Nullfolge handelt. Dann konvergiert die alternierende Reihe:

\sum \frac{(- 1)^{n} \cdot n^{2}}{n^{3} + 7}

Und das diese Folge eine monoton fallende Nullfolge ist, ist eigentlich direkt klar und kann man leicht zeigen.

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