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Leite den Mittelwertsatz der Integralrechnung her!

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Lorella aktiv_icon

12:48 Uhr, 24.03.2010

Hallo!

Kann mir jemand helfen bei:

Leite den Mittelwertsatz der Integralrechnung aus dem MWS der Differemtialrechnung her! ????

Glg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Alx123 aktiv_icon

13:09 Uhr, 24.03.2010

Hallo,
der MWS der Differentialrechnung lautet ja:

Sei

f : [a, b] \to R

stetig und auf

] a, b [

differenzierbar. Dann gibt es ein

ξ \in] a, b [

mit

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a) .

Wenn

f

stetig ist gibt es eine Stammfunktion

F

mit

F^{'} = f

Nach den MWS der Differentialrechnung gilt:

F (b) - F (a) = f (ξ) (b - a) .

und nach dem Hauptsatz der Analysis gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

also kann man schreiben:

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a) .

Lorella aktiv_icon

13:33 Uhr, 24.03.2010

Hey vielen Dank!

Sehr gut erklärt!

Glg

OmegaPirat

13:41 Uhr, 24.03.2010

Das ist aber nur ein Spezialfall
Allgemein lautet der Mittelwertsatz der Integralrechnung
Es ist

f : [a, b] \to R

stetig und

p : [a, b] \to [0, \infty)

stetig Dann existiert ein

ξ,

so dass

\int_{a}^{b} p (x) \cdot f (x) d x = f (ξ) \cdot \int_{a}^{b} p (x) d x

Beweis:
sei

m = i n f (f (x) | x \in [a, b])

und

M = s u p (f (x) | x \in [a, b])

Dann gilt

m \cdot \int_{a}^{b} p (x) \leq \int_{a}^{b} p (x) \cdot f (x) d x \leq M \cdot \int_{a}^{b} p (x)

\Rightarrow

es existiert ein

c \in [m, M]

so dass

c \cdot \int_{a}^{b} p (x) = \int_{a}^{b} p (x) \cdot f (x) d x

Nun sind

m, M \in f [m, M]

(wegen der Stetigkeit von

f)

Wegen der Stetigkeit folgt aus dem Zwischenwertsatz:
Es existiert ein

ξ \in [a, b]

mit

f (ξ) = c

Damit ist der Satz bewiesen.

Edit:
Oh ich hab das erst später gesehen, dass man das aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung herleiten soll.
Trotzdem handelt es sich dabei aber nur um einen spezialfall

Alx123 aktiv_icon

15:34 Uhr, 24.03.2010

Ja, das stimmt, aber da oben keine weiteren Informationen stehen, ist es genau so plausibel zu hinterfragen, mit welchem MWS der Differentialrechnung man welchem MWS der Integralrechnung herleiten soll. Es gibt mehrere MWS, auch könnte man das ins mehrdimensionale erweitern. Der Begriff "Mittelwertsatz" ist auch nicht eindeutig, darunter wird manchmal der spezielle Fall, manchmal auch der allgemeine Fall verstanden.

Die Frage ist nun ob man im jeden Fall so herleiten kann.

Da mir nur auf Anhieb die Herleitung des speziellen Falles eingefallen ist, habe ich auch diesen gewählt.

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