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Lennard-Jones-Potential Gleichgewichtszustand

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Tags: Lennard-Jones-Potential

anna24 aktiv_icon

11:25 Uhr, 18.11.2021

Hallo, ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

die potenzielle Energie eines Atoms mit zwei Molekülen wird mithilfe des Lennard-Jones-Potentials beschrieben.

Es soll berechnet werden, welchen Abstand die Atome im Gleichgewichtszustand haben.
Wenn ich das richtig verstehe, soll also das Minimum errechnet werden.

Wie gehe ich dabei vor? Ich freue mich über Hilfe.

Roman-22

11:35 Uhr, 18.11.2021

Du könntest, um das Minimum zu bestimmen,

E (r)

nach

r

ableiten und Null setzen.
Das führt dann, wenn ich mal

a, r > 0

annehme, schnell auf

r_{m i n} = a

Allerdings wird

E

an dieser Stelle negativ!

Sollte

E (r)

im Gleichgewichtszustand nicht vielleicht Null sein? Führt auf

r_{0} = \frac{a}{\sqrt[6]{2}}

EDIT: NEIN! Keine gute Idde. Man muss schon ableiten und Null setzen!

anna24 aktiv_icon

12:00 Uhr, 18.11.2021

Okay, was bekommst du für die Ableitung heraus?

anna24 aktiv_icon

12:00 Uhr, 18.11.2021

Also würde ich die Funktion zur Abstandsberechnung einfach

= 0

setzen und nach a umstellen?

Roman-22

12:01 Uhr, 18.11.2021

Davon gehe ich aus, ja.
EDIT: Sollte ich besser nicht! Also doch lieber ableiten und Null setzen!

>

und nach a umstellen?
Warum nach a? Ich dachte

r

soll der Abstand sein, um den es geht?

anna24 aktiv_icon

12:08 Uhr, 18.11.2021

Was ist der erste Schritt bei der Umstellung? Satz vom Nullprodukt? Ich blicke noch nicht ganz durch

Umstellen natürlich nach

r,

entschuldigung!

Roman-22

12:13 Uhr, 18.11.2021

>

Was ist der erste Schritt bei der Umstellung?
Indem du im Linksterm der Gleichung

E_{0} \cdot \frac{a^{6}}{r^{12}}

ausklammerst und dann die Gleichung durch diesen Term dividierst.

>

Satz vom Nullprodukt?
Ist nicht angebracht und nötig.

Beginne hier mal mit deiner Rechnung, wenn du nicht weiter kommst, damit wir sehen, was du genau machst.

anna24 aktiv_icon

12:19 Uhr, 18.11.2021

Könntest du mir vlt einmal die ges. erste Zeile aufschreiben?

Roman-22

12:30 Uhr, 18.11.2021

1)

Es wird Zeit, dass du hier auch selbst etwas Eigenleistung zeigst und DU mal die ersten Schritte aufschreibst

2)

Sorry für die Irritierung, aber ich habe das

a

in der Gleichung falsch interpretiert.
Natürlich darf das Potential auch negativ sein und im Gleichgewichtszustand ist es dann hier eben negativ.

D . h

. du musst also sehr wohl erst ableiten und diese Ableitung dann Null setzen. Das

a

in deiner Gleichung ist ja genau der Abstand im Gleichgewichtszustand und demnach solltest du auch

r = a

rausbekommen.

Also fang an,

E (r)

nach

r

abzuleiten. Es empfiehlt sich, erst noch etwas auszuklammern und vl umzuschreiben, also

E (r) = E_{0} \cdot a^{6} \cdot (a^{6} \cdot r^{- 12} - 2 \cdot r^{- 6})

Und jetzt du

\frac{d}{d r} E (r) = . .

.

EDIT: Möglicherweise fällt es dir auch leichter mit einer Substitution.
Mit

u = \frac{a}{r}

wird aus der Gleichung für das LJ Potential die Gleichung

E (u) = E_{0} \cdot (u^{12} - 2 \cdot u^{6})

Hier führt ableiten und nullsetzen auf

x = 1,

was dann rücksubstituiert wieder

r = a

bedeutet.

anna24 aktiv_icon

13:16 Uhr, 18.11.2021

Okay, also die Ableitung ergibt bei mir schon einmal:

E' (r) = E 0 \cdot (12 \frac{a^{6}}{r^{7}} - 12 \frac{a^{12}}{r^{13}})

anna24 aktiv_icon

14:37 Uhr, 18.11.2021

Okay, jetzt habe ich es verstanden.

r = 6 \sqrt{\frac{a^{12}}{a^{6}}}

und damit ist auch

a = r

.

Ich danke dir vielmals! :-)

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