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Liegen 3 Punkte auf einer Geraden?!
Schüler Gymnasiale Oberstufe, 12. Klassenstufe
Tags: Analytische Geometrie, Vektoren
 
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Hey Mathe-Fans, ich brauche mal einen kleinen Lösungsansatz für die folgende Aufgabe. Es muss eine Lösung im Rahmen der Vektorrechnung sein, also etwas mit Kollinearen oder komplanaren Vektoren zu tun haben. Kann man die Lösung für diese Aufgabe dann auch in den dreidimensionalen Raum übertragen? 1. Untersuchen Sie, ob die folgenden Punkte auf einer Geraden liegen: A(1|1), B(5|2), C(-3|0) Liebe Grüße MrPotter Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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anonymous 20:08 Uhr, 23.09.2008 |
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Hallo, um eine Gerade zu beschreiben brauchst du einen Stützvektor (einen Vektor, der auf einen beliebigen Punkt auf der Geraden verweist) und einen Richtungsvektor (einen Vektor, der in Richtung der Geraden zeigt). Bestimmen wir einfach die Gerade, auf der A und B liegen und schauen dann, ob C auch darauf liegt. Als Stützvektor wähle ich den Ortsvektor von A, v(A)=(1|1) Als Richtungsvektor wähle ich den Vektor von A nach B, v(AB)=v(B)-v(A)=(4|1) Also lautet die Geradengleichung So ist g(0)=(1|1) und g(1)=(5|2) Wie kann man nun bestimmen, ob C auf der Geraden liegt? Gruß Tobias |
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Hey Tobias, super! Diese Lösung konnte ich sehr gut nachvollziehen. Auf c bin ich durch das Erstellen eines "überbestimmten" LGS gekommen, obwohl man das Ergebnis eigentlich schon fast hätte ablesen können. I -3 = 1 + 4t II 0 = 1 + t | I+II I -3 = 2 + 5t -> t = -1 Somit liegen alle Punkte auf der Geraden, da g(-1) = (-3|0). Ich nehme mal stark an, dass das Verfahren im Raum genauso funktioniert, habe ich recht? Danke und Gruß MrPotter |
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anonymous 20:43 Uhr, 23.09.2008 |
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Ja, prinzipiell genauso, für eine Gerade benötigst du einen Stützvektor und einen Richtungsvektor. Für eine Ebene (eine weitere Form, die im Raum vorkommen kann) benötigt man einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. Hier ist dann jedoch noch die Zusatzbedingung, dass die beiden Richtungsvektoren NICHT auf einer Geraden liegen (bzw. in dieselbe oder in genau entgegengesetzte Richtung zeigen). |
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Danke für die Info. Allerdings habe ich noch eine Frage zur Aufgabe. Wenn ich jetzt jedesmal mit einem LGS die Lösungen für t bestimme, dann bekomme ich doch niemals einen Wiederspruch, falls ein Punkt nicht auf der Geraden liegt, oder?! Wie würde es denn aussehen, wenn eine falsche Aussage vorliegt? Grüße MrPotter |
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anonymous 21:39 Uhr, 23.09.2008 |
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Z.B. für den Punkt (2|1) würde das LGS lauten: I. 2=1+4t 1=4t II. 1=1+t Jetzt setzen wir das Ergebnis zur Probe in II. ein: 1=1+ Die zweite Gleichung ist also nicht erfüllt (sie enthält einen Widerspruch). Der Punkt liegt also nicht auf der Geraden. Dahingegen funktioniert es bei der obigen Rechnung. |
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Ach soo! Und ich dachte, mann könnte faulerweise beide Gleichungen einfach addieren, wie ich es oben gemacht habe... :-) Nochmals vielen Dank für deinen Einsatz! |
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anonymous 22:17 Uhr, 23.09.2008 |
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Man kann das so machen, wie du es gemacht hast, bekommst ja auch die richtige Lösung raus. Aber du benötigst nur eine Gleichung, um t zu bestimmen. Die anderen Gleichungen dienen dann als Test... |
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