Lin. Abbildung - surjektiv, injektiv oder bijektiv

Liebe Community,

stehe vor folgendem Problem

Folgende Aufgabe:

V={${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{2,2}}$|A ist obere Dreiecksmatrix}

und die Abbildung:

${\displaystyle {\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1:\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to {\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$

${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0& \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{c}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 3\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ -2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right]}$

-->> Ist L1 injektiv/surjektiv/bijektiv?

Als erstes habe ich mir den Kern angeschaut, da Kern(A)=${\displaystyle \left\{\overrightarrow{0}\right\}}$ ist die Abbildung injektiv (so kenne ich die Definition)

als nächstes gilt zu überprüfen, ob die Abbildung zusätzlich noch surjektiv ist. Da habe ich meine Probleme. Irgendwie gibt es so eine Definiton, die ich aber nicht verstehe. Bzw. ich weiß nicht genau wie ich sie darauf anwenden soll.<br id="elCustomTag3" /> ------------------<br id="elCustomTag3" /> Definition (Surjektivität)
Sei L: V${\displaystyle \to }$W eine lineare Abbildung. L heißt surjektiv, falls ${\displaystyle \left\{\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left)\right|\overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\in \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\}=\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.
Ist V endlich dimensional, dann ist ,L surjektiv

$$\begin{gathered} {\displaystyle \iff \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \iff \mathrm{dim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)=\mathrm{dim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)} \end{gathered}$$

-----------------------------

Die Dimension des Bildes L soll also gleich der Dimension von W sein. Ich dachte aber das Bild(L) ist W? Und wenn nicht, wo ist dann der Unterschied. Und ehrlich gesagt, stehe ich auch auf'm Schlauch der der Dimension einer Matrix, was ist denn die Dimension von ${\displaystyle \left[\begin{array}{cc}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}& \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0& \mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right]}$ oder dessen Abbildung?

LG

pRe

Also ich kenne die Definition:

Sei L: V->W eine lineare Abbildung. L heißt injektiv falls gilt: $$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_1\right)=\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_2\right)\Rightarrow {\overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_1={\overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_2 \\ \iff \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\left\{\overrightarrow{0}\right\} \\ \iff \mathrm{dim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)=0} \end{gathered}$$

gilt das also nicht in diesem Fall? Der Kern von meiner Abbildung ist doch der 0-Vektor. Oder liegt es an der Dimension?

Wenn ich so drüber nachdenke würde ich die Abbildung für Surjektiv halten, da, wenn b=0 ist und a=c immer der Null-Vektor abgebildet wird. Gilt sowas als Begründung?

Meinst du mit Kern-Bild-Satz den Dimensionssatz?

Ich meine mich zu erinnern, dass wenn beide Vektorräume die gleiche Dimension habe, die Abbildung surjektiv ist. Vllt irre ich mich aber auch.

Ich muss leider zugeben, dass ich dieses Thema in den Vorlesungen nie so ganz verstanden habe!