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Lin. Unabhängigkeit der Sinus- und Cosinusfunktion
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Lineare Unabhängigkeit
 
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Hallo zusammen! Ich möchte zeigen, dass und linear unabhängig sind. Lineare Unabhängigkeit bezieht sich ja auf eine Menge von Vektoren für die gilt, dass aus . folgt dass sind. Die Negation wäre demnach, dass einer der ungleich Null wäre und die Gleichung dennoch erfüllt ist. Nun zu und sin(x)bzw. Intuitiv würde ich sagen, müsste dies für alle erfüllt sein (woraus folgt das eigentlich formal?), dh ich könnte einmal für Null wählen und einmal zB für dann hätte ich: ii) Inwiefern hilft mir das weiter? In beiden Fällen könnte ja das andere ungleich Null sein - also hab ich ja noch keineswegs Unabhängigkeit gezeigt, oder? mpft mpft mpft |
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Hallo Miausch, alles richtig erklärt! Die Gleichung muß für alle x gelten, das folgt formal aus der Definition der linearen Unabhängigkeit von Funktionen! Bei 2 Funktionen, kann man auch locker formulieren: Die eine Funktion lässt sich nicht als Vielfaches ( Lamda ungleich Null) der anderen darstellen! Beweis der linearen Unabhängigkeit: siehe Anhang der Formeleditir spinnt mal wieder!
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Schöner Beweis - vielen Dank für die Mühe. Wenn ich es aber richtig verstehe, hätte schon der erste Teil meines "Beweises" . genügt (die Fallunterscheidung deckt ja quasi ALLE möglichen ab - es genügt aber schon für ein zu zeigen, dass alle gleich Null sein müssen) und zudem genügt es in unserem Fall auch, nur ein zu verwenden - ist das korrekt? |
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Ja genau genommen reicht ein Gegenbeispiel! z.B. x=0 |
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Mist, mir ist der folgende Punkt einfach immer noch nicht klar: "Inwiefern hilft mir das weiter? In beiden Fällen könnte ja das andere ungleich Null sein - also hab ich ja noch keineswegs Unabhängigkeit gezeigt, oder?" Also für setzten wir ein, dann ist . könnte ja sein - und damit wären ja die Funktionen abhängig? Oder: muss man alle durchlaufen und zeigen, dass jeweils für alle der möglichen x-Werte schlussendlich alle Null sein müssen (und das nicht alle gleichzeitig für ein bestimmtes gleich Null sein müssen?)? mpft |
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wenn Du ein x wählst, musst Du es in beide Funktionen einsetzen! Du kannst doch bei einer Miss-Wahl nicht 17-jährige (x=17) mit Oma (x=70) vergleichen auch wenn die eine aus dem Stamme der Si-Nüsse und die andere aus dem Stamme der Cosi-Nüsse ist!
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Das ist mir schon klar - das war ja nicht meine Frage... |
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Also für ein Gegenbeispiel-Beweis: Angenommen sin(x) und cos(x) wären linear abhängig! Dann gibt es eine nichttriviale Lösung so dass gilt: Sei nun x=0, dann gilt: Widerspruch! |
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Jap, danke, das war mir auch klar - aber meine Frage ist eine andere - und zwar im Fall mit zwei . |
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Sorry, ich hab mal nicht so genau gelesen! Für die Lineare Unabhängigkeit musst Du zeigen, das es keine Lambdas gibt, die von Null verschieden sind, so dass es eine Linearkombination der Funktionen gibt, die dann Null ergibt, und zwar für alle x. Mit anderen Worte, wenn es nur eine mögliche Kombination von Lambdas gibt, nämlich alle Null, um die Linearkomination gleich Null werden zu lassen. Bei nur 2 Funktionen reicht es aber zu zeigen, das die Funktionen keine Vielfache voneinander sind.(siehe Beweis ebend) Für die Lineare Abhängigkeit reicht es, wenn mindestens eines der Lambda ungleich Null wird, und trotzden eine Null-Linearkombinatiion entsteht.
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Bei 2 Lambda wird das mit einem Gegenbeweis-Beispiel schwierig! Deshalb ja , die bisher gezeigten Beweise verwenden! |
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