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Linear unabhängig, 3 Vektoren mit je 4 Einträgen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

Flo27 aktiv_icon

18:46 Uhr, 25.08.2012

Ist die folgende Menge von Vektoren lin. unabh.?

M={ (0, -3, -4, 0), (-2, 4, 3, -2), (-2 , 13, 15, -2)}

Es sind alles Spaltenvektoren. Begründung.

Meine Lsg nach Gauß:

-3 4 13|0
0 -2 0|0
0 0 12|0
0 0 0|0

Auf Grund der Nullzeile hätte ich gesagt, es sei nicht lin. unabh. Aber ich habe doch nur 3 Variablen. Somit ist die 4. Zeile doch überflüssig und dann wäre es lin. unabh., oder?

2. Frage dazu: Wie muss man ergänzen, dass es eine Basis im R4 wird? Meine Lsg, es geht nicht.

Danke schon mal.

lg

Flo27

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

20:23 Uhr, 25.08.2012

Hallo,

diagonalisiere doch mal nach Gauss (du hast nur trianguliert; ob korrekt, hab ich nicht überprüft).
Dann wende das Kriterium für lineare Unabhängigkeit KONKRET an!

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

20:30 Uhr, 25.08.2012

Hallo Michael,

ich habe was?? Trianguliert? Und soll diagonalisieren? Was ist was? Ich habe doch in der Diagonalen Zahlen ungleich 0 stehen. Das Kriterium heißt, wenn alle

Λ

die triviale Lsg haben, dann ist es lin unabh.

lg

Flo27 aktiv_icon

20:34 Uhr, 25.08.2012

Ich trenn die einzelnen Einträge mal durch Komma ab:

-3 , 4 , 13 |0
0 , -2 , 0 |0
0 , 0 , 12 |0
0 , 0 , 0 |0

michaL aktiv_icon

20:37 Uhr, 25.08.2012

Hallo,

nun, ja, ich dachte, du könntest das Kriterium vielleicht sicherer anwenden, wenn du NUR auf der Diagonalen Koeffizienten ungleich Null hättest und sonst eben nur Nullen. Dann könnte man die nicht triviale Lösung ja konkret ablesen.
Dein System ist zudem schlecht zu lesen, was die Überprüfung schwierig macht(e).

Also, kannst du eine nichttriviale Lösung angeben, dann stimmt es: die Vektoren sind linear abhängig. Ich bezweifle aber, dass du das an der letzten Zeile ablesen kannst.

Deswegen habe ich vorgeschlagen, du wendest Gauss so lange an, bis man die Lösung des Gleichungssystems direkt ablesen kann. Denn dann weiß man ja, ob es sich um die triviale Lösung oder eine andere handelt...

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

20:41 Uhr, 25.08.2012

achso, ok, das ist mir neu. Habe in einem Buch stehen, wenn eine Nullzeile das Ergebnis ist, dann ist es linear abhängig. Stimmt diese Aussage dann nicht? Kann ich Nullzeilen haben und das System kann trotzdem unabhängig sein?

Wenn ich den Gauß weiter anwende, dann bleiben nur in der Diagonalen von Null verschiedene Zahlen übrig, bis auf die 4. Zeile, die ist komplett Null. Brauch ich die dann gar nicht, kann ich die ignorieren, da ich nur 3 Vektoren und somit nur 3 Unbekannte habe?

michaL aktiv_icon

20:46 Uhr, 25.08.2012

Hallo,

das stimmt so im allgemeinen nicht. Beispiel:

(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array})

Sicher linear unabhängig, trotz Nullzeile. Kannst du dem zustimmen?

Kannst du das Buch zitieren? Steht da vielleicht noch etwas mehr drin (möchte nicht verraten, aber mit einer Zusatzbedingung könnte es klappen).

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

20:49 Uhr, 25.08.2012

Ja, da ich keinen der Vektoren durch den andern darstellen kann, richtig?

Das Buch heißt Lineare Algebra von Lipschutz. Da sind viele Sachen vorgerechnet und sobald ne Nullzeile kam, wurde aufgehört und gesagt, es sei linear abhängig.

Mit welcher Zusatzbedingung funktioniert es denn?

michaL aktiv_icon

21:00 Uhr, 25.08.2012

Hallo,

nun, bei quadratischen Systemen klappt das. Also dort, wo es genauso viele Variablen wie Gleichungen gibt.
Sei nämlich

A

eine quadratische

n \times n

-Matrix mit einer Nullzeile (etwa die erste). Dann ist die Abbildung

f : \vec{x} \mapsto A \vec{x}

nicht mehr injektiv, da das Bild von

f

höchstens die Dimension

n - 1

hat (eben gleich dem Rang von

A

). Dann hat nach Kern-Bild-Satz aber der Kern mindestens die Dimension 1, was gerade heißt, dass es nicht triviale Lösungen gibt.

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

21:05 Uhr, 25.08.2012

Was bitte ist der Kern-Bild-Satz?

Heißt das einfach nur, dass bei quadratischen Matrizen gilt, wenn ich da eine Nullzeile habe, dass das System dann abhängig ist?

In meiner Aufgabe hätte ich ein abhängiges System, wenn ich ein weitere Nullzeile erhalte?

michaL aktiv_icon

21:38 Uhr, 25.08.2012

Hallo,

Kern-Bild-Satz: de.wikipedia.org/wiki/Kern-Bild-Satz
Manchmal auch Dimensionssatz: www.grundstudium.info/linearealgebra/lineare_algebra_grundlagennode55.php

Könnte man bei $Suchmaschine_deiner_Wahl suchen!

> Heißt das einfach nur, dass bei quadratischen Matrizen gilt, wenn ich da eine Nullzeile habe, dass das System dann
> abhängig ist?
Ja.

> In meiner Aufgabe hätte ich ein abhängiges System, wenn ich ein weitere Nullzeile erhalte?
Ja.

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

21:45 Uhr, 25.08.2012

Ich weiß, es sieht so aus, als hätte ich gar keine Ahnung. Tatsächlich habe ich nur wenig Ahnung, da ich mir alles selbst beibringen musste und nicht alles verstehe. Mein Dozent hatte keine Lust und hat keine Ahnung. Jede Frage, die ich ihm gestellt habe blieb unbeantwortet.

Zurück zum Thema: Kann ich mir grundsätzlich merke, habe ich eine n x m Matrix mit x Variablen und sind meine Nicht-Nullzeilen gleich x, dann habe ich eine unabhängige Matrix. Sind die Nicht-Nullzeilen x-1 (x-f) dann ist es abhängig.

Bei den quadratischen Matrizen: eine oder mehr Nullzeilen heißt abhängig, keine Nullzeilen unabhängig?

anonymous

21:57 Uhr, 25.08.2012

Du musst den Ansatz verstehen, der letztlich zum Gauß-Alg. führt: Die Frage ist, ob es eine nicht triviale Darstellung des Nullvektors als Linearkombination dieser Vektoren gibt oder eben nicht.
Ansatz:

α_{1} (0, - 3, - 4, 0) + α_{2} (- 2, 4, 3, - 2) + α_{3} (- 2, 13, 15, - 2) = (0, 0, 0, 0)

dieses (unterbestimmte) Gleichungssystem löst du - du hast irgendwo einen Fehler gemacht. Nach Vertauschen zweier Zeilen erhalte ich: (fasse die 4 folgenden Zeilen als Zeilen der erweiterten Koeffizientenmatrix auf)
(-3,4,13,0
0,1,1,0
0,0,0,0
0,0,0,0)
die letzten beiden Zeilen stellen allgemeingültige Gleichungen dar.
die zweite Zeile heißt übersetzt:

α_{2} + α_{3} = 0

Du kannst jetzt z.B.

α_{3}

beliebig wählen, z.B.

α_{3} = 1

Also gibt es eine nichttriv. Linearkombination, m.a.W.: die Vektoren sind linear
abhängig

michaL aktiv_icon

21:57 Uhr, 25.08.2012

Hallo,

Vorsicht mit der pauschalen Aussage!

Kannst du bei

n

Variablen so viele Nullzeilen erzeugen, dass weniger als

n

Nichtnullzeilen übrig bleiben, dann hat das System eine nichtitriviale Lösung (mit anderen Worten: die Spaltenvektoren sind dann linear abhängig).
Kannst du aber nicht so viele Nullzeilen erzeugen, könnte das auch an mangelnder Fähigkeit liegen. Da ich dich nicht kenne, kann ich das nicht einschätzen. (Nichts für ungut.)

Außerdem bitte große(!) Vorsicht bei solchen Äußerungen über Dozenten. Dass Fragen unbeantwortet bleiben, kann auch andere Gründe haben (wieder sorry, ist nicht persönlich gemeint).

Sich die Dinge selbst beibringen zu müssen, ist übrigens der beste (womöglich sogar der einzige) Weg, Mathematik zu lernen.
Denn: von der Gültigkeit eines Schlusses kann man sich nur selbst überzeugen. Andere können einen da eigentlich nur überreden. :-)

Fragen sind hier durchaus willkommen. Vielleicht gerade die, bei denen du dich vom Dozenten nicht ausreichend unterstützt fühlst.

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

22:19 Uhr, 25.08.2012

Stimmt, ich habe einen Rechenfehler. Wie ich den produziert habe, weiß ich auch nicht mehr. Aber ein Onlinerechner hat ein anderes Ergebnis als du ;-)

@Michael
Wieso keine Pauschalaussagen, die würden mir helfen, aber wenn es verboten ist... schade. Bei der Aussage über meinen Dozenten, wieso soll es Sinn machen alle meine Fragen nicht zu beantworten. Er gab immer eine Antwort, aber nie auf meine Fragen. Leider weiß ich meine Fragen nicht mehr, aber es lief nach dem Motto, dass ich gefragt wie morgen das Wetter wird und er sagte wohin er in Urlaub geht.

Ich bekomme immer mehr den Eindruck, ich habe keine Ahnung! Vill habe ich dich jetzt nicht richtig verstanden, oder du mich nicht. Sagen wir in meinem Beispiel: Ich habe 3 Vektoren mit je 4 Einträgen: Ich erzeuge eine Nullzeile, dann ist mein System linear unabhängig, da ich eine Zeile zu viel habe. Erzeuge ich 2 oder 3 Nullzeilen, dann wird es abhängig. Kann ich mir das so merken? Und bei den quadratischen kann ich sagen, dass bei keiner Nullzeile das System unabhängig ist und bei 1 oder mehr Nullzeilen ist es abhängig.

Flo27 aktiv_icon

22:23 Uhr, 25.08.2012

@ irrsinn:

Habe es nachgerechnet, komme auf dasselbe wie du :-)

Wäre meine Basis im R4 dazu dann: v1= (-3,0,0,0), v2=(4,-2,0,0), v3=(13,-2,0,0) v4=(0,0,1,1) ?

anonymous

22:24 Uhr, 25.08.2012

zum Online-Rechner: du darfst dich durch andere Zahlen nicht irreleiten lassen - um auf die Einsen zu kommen habe ich die entsprechende Zeile durch eine Zahl dividiert.
Die Matrix muss nur von der gleichen "Qualität" sein

Flo27 aktiv_icon

22:28 Uhr, 25.08.2012

da waren Brüche dabei. Und die letzte Zeile fehlte ganz. Zu meiner angegebenen Basis, der v4 geht gar nicht, da ich eine 1 durch die andere 1 wieder eleminieren kann. Aber wie soll ich die dann finden, wenn ich mein System ergänzen soll?

anonymous

22:30 Uhr, 25.08.2012

Nein - diese 4 Vektoren sind nicht lin. unabhg.
Wenn du die erweiterte Koeffizientenmatrix hinschreibst, dann siehst du das sofort ohne irgendwelche Rechnung.

Flo27 aktiv_icon

22:33 Uhr, 25.08.2012

Ich schreibe das immer mit der erweiterten Matrix auf, aber wie sehe ich das sofort? Ich muss es zwar rechnen, aber hilfreich ist es bestimmt auch für alle andern Matrizen ;-)

anonymous

22:38 Uhr, 25.08.2012

Die letzten beiden Zeilen lauten dann:
0,0,0,1,0
0,0,0,1,0
was weiter nicht schlimm ist:

α_{4} = 0

aber die zweite Zeile heißt dann:
0,-2,-2,0,0
also:

α_{2} + α_{3} = 0

auch hier läßt sich

α_{3}

beliebig wählen, insbesondere ungleich Null

michaL aktiv_icon

22:40 Uhr, 25.08.2012

Hallo,

ok, das wird nun ein bischen OT, aber gut.

Flo27 schrieb:
> Wieso keine Pauschalaussagen, die würden mir helfen, aber wenn es verboten ist... schade.

Von "verboten" habe ich nichts geschrieben. Lediglich davon, dass dabei Vorsicht geboten ist.
Ich weiß, dass solche Pauschalisierungen Dinge vereinfachen. Und ich wollte nur davor warnen, diese Vereinfachungen auf Situationen anwenden zu wollen, für die sie dann aber nicht gedacht sind. Diese Aussage mit den Nullzeilen ist z.b. nur dann uneingeschränkt richtig, wenn auf der anderen Seite der/des Gleichheitszeichen(s) der Nullvektor (bzw. nur Nullen) stehen. Geht es um ein Gleichungssystem, bei dem das nicht der Fall ist (was aber bei Prüfung auf linear unabhängig nicht vorkommt), dann kann es lauter Nullzeilen geben und eine von der Form 0=1. Dieses Gleichungssystem hat dann aber gar keine Lösung, nicht einmal die triviale (und schon aus diesem Grunde kann das ja bei der Probe auf lineare Unabhängigkeit nicht vorkommen).

Zu deinem Dozenten kann ich wirklich nichts sagen. Auch über dich nicht (was ich hier betonen will). Aber die gleiche Erfahrung habe ich auch gemacht: auf eine Frage nur Antworten gegeben, die dem Fragesteller offenbar nicht geholfen haben. Trotzdem bin ich kompetent (bzw. halte mich dafür). Es kann also auch noch am anderen Ende der Leitung liegen, wenn es mit der Kommunikation nicht klappt. Wie gesagt, vorgekommen ist sicher schon beides, aber auf die Entfernung maße ich mir da kein Urteil an.
Hier habe ich aber schon öfter erlebt, dass ein Fragesteller mit einer Antwort nicht zurecht kam, weil seine Probleme schon weit vorher begannen.

Mfg Michael

Flo27 aktiv_icon

22:42 Uhr, 25.08.2012

Du meinst, wenn ich den Gauß nochmal durchführe, dann sind das die letzten beiden Zeilen? Aber das ist doch dann noch immer keine Basis im R4, oder? Der Raum gibt mir doch an, wieviele Vektoren meine Basis hat, oder? Die Aufgabe lautet, entweder eine Basis im R4 angegeben, oder zu einer Basis im R4 ergänzen.

anonymous

22:44 Uhr, 25.08.2012

ich hatte doch gesagt: ohne Rechnung - den Gauß brauchst du erst gar nicht zu bemühen.

dann würde ich sofort die Möglichkeit "angeben" wählen: gib die kanonische Basis an:
(1,0,0,0),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)

Flo27 aktiv_icon

22:48 Uhr, 25.08.2012

Das stimmt, Michael, as bestreite ich nicht. Aber ab und an habe ich was verstanden, wenn er mal da war, und hatte aber noch eine konkrete Frage, bekam aber auf diese Frage keine Antwort. Aber ich denke, das mit meinem Dozenten lassen wir dann mal, denn es hilft ja nichts, muss es trotzdem irgendwie wissen/verstehen.

Ich habe viele Prob mit dem Thema. Vill frage ich mich auch zu viel? Kann auch sein.

Zu den Pauschalaussagen: wenn ich als Ergebnisvektor den Nullvektor habe, den hatte ich nämlich nur im Kopg ^^, dann kann ich das schon so verwenden, oder auch besser nicht?

Ich krieg immer mehr Chaos im Kopf, je länger ich mich damit beschäftige. So ein Mist. Aber ich will/ muss das verstehen....

Flo27 aktiv_icon

22:50 Uhr, 25.08.2012

Wieso darf ich die kanonische Basis angeben, wenn ich zu der Menge, aus der Anfangsfrage, eine Basis im R4 angeben soll? Oder eben zu einer erweitern? Dachte ich muss dann mit dem ursprünglichen arbeiten. Haben wir (Lerngruppe) das dann komplett falsch verstanden???

Flo27 aktiv_icon

23:00 Uhr, 25.08.2012

Also, ich merke, wir schreiben aneinander vorbei, irrsinn. Aber das liegt wohl daran, dass ich die Aufgaben vor mir habe und ihr nicht.

Aufg. 1 sagt, prüfe auf lineare Unabhängigkeit.

Aufg. 2 sagt: "Bilden die Vektoren der Menge M eine Basis des R4? Ergänzen Sie ggf. die Vektormenge zu einer Basis des R4."

Denk so ist es deutlicher...

anonymous

23:12 Uhr, 25.08.2012

ja, es war ein Aneinandervorbeischreiben.
Wenn du ergänzen sollst, dann musst du einen vierten Vektor in allgemeiner Form dazusetzen:

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})

Du stellst also den Nullvektor als LK dieser 4 Vektoren dar und notierst die erweiterte Koeffizientenmatrix. Die bringst du wieder in eine Dreiecksform (unter der Diagonalen alles Null)
Die letzte Zeile lautet dann evtl.:
(0,0,0,*,0) in * stecken dann x_i - * muss so gewählt werden, dass es ungleich Null ist. Und nun bestimmst du die x_i (da entsteht etwas "Arbeit")

Sei mir nicht böse: ich geh jetzt mal Sportschau gucken

Flo27 aktiv_icon

23:29 Uhr, 25.08.2012

ist ok, danke schon mal ( an euch beide)

Also nehme ich meine 3 Vektoren, setze Lambda davor, addier sie und addiere meinen 4. Vektor mit (x1,x2,x3,x4)*lambda dazu ist als Ergebnis der Nullvektor. Richtig? Oder mach ich es mit dem Vektor: (0,0,x3,x4)

Matlog aktiv_icon

10:11 Uhr, 27.08.2012

Verstehe ich das richtig?
Ihr habt drei linear abhängige Vektoren und versucht durch Hinzunahme eines vierten Vektors eine Basis zu erhalten?
Das ist vollkommen unmöglich! Durch Hinzunahme von Vektoren geht die Abhängigkeit nicht weg.

In der Aufgabenstellung lese ich auch "ggf". Eine Ergänzung ist nur möglich, wenn die gegebenen Vektoren lin. unabhängig sind (und noch keine Basis bilden).

prodomo aktiv_icon

10:57 Uhr, 27.08.2012

Etwas einfacher ist immer die Probe, ob sich einer der Vektoren als Linearkombination der restlichen darstellen lässt. Die Gleichung

(\begin{matrix} - 2 \\ 13 \\ 15 \\ - 2 \end{matrix}) = x \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix}) =

ergibt

x = - 3

und

y = 1

. Also sind sie abhängig. Für eine Basis musst du 4 unabhängige finden, also am besten den dritten weglassen und 2 neue dazu nehmen

Flo27 aktiv_icon

11:44 Uhr, 27.08.2012

@prodomo:

das find ich ne tolle idee :-) Jetzt frag ich mich, ob ich das einfach machen darf? Einfach einen weglassen, weil er durch die beiden anderen darstellbar ist. Eine Basis ist ja ein minimales EZS. Heißt, dass alle meine Vektoren dadurch dargestellt werden müssen.

@Matlog

ja, so lautet die Aufgabe. Könnte ich mir dann das Rechnen sparen und einfach schreiben, wenn 3 Vektoren bereits voneinander abhängig waren, dann sich auch 4 Vektoren voneinander abhängig?

anonymous

11:45 Uhr, 27.08.2012

@Matlog
na klar, natürlich hast du Recht!! Mir scheint der Drang nach der Sportschau die Sinne vernebelt zu haben! - Entschuldigung.

Matlog aktiv_icon

12:32 Uhr, 27.08.2012

@Flo27:
Ja, dieses Argument begründet, warum eine Ergänzung unmöglich ist.
Wenn Du trotzdem eine Basis angeben willst, dann solltest Du prodomos Weg folgen.
Der Aufgabentext erfordert das aber nicht.

@irrsinn07:
Nur weil bei der Hilfe mal eine Kleinigkeit daneben geht, muss man sich nicht entschuldigen.

Flo27 aktiv_icon

13:44 Uhr, 27.08.2012

So, denke meine Frage ist beantwortet. Vielen Dank an alle. Bin schon mal ein bisschen schlauer ;-)

lg
Flo27

anonymous

14:42 Uhr, 27.08.2012

na ja, eine Kleinigkeit ist das nicht gerade - es ist ein toller Bolzen!
Zumal die Überlegung banal ist:
habe ich n lin. abhg. Vektoren, dann lässt sich der Nullvektor als nichttriv. LK dieser Vektoren darstellen (d.h. mindestens ein Koeff<>0). Dann kann ich dazupacken, was ich will: alles wird mit dem(n) Koeff. Null versehen - und die LK ist trotzdem nichttriv.
ich habe mich wieder etwas beruhigt.

Flo27 aktiv_icon

14:59 Uhr, 27.08.2012

@ irrsinn:

was heißt LK? Linearkombination? und wieso hattest du dich aufgeregt? Weil du was falsches geschrieben hattest?

anonymous

15:50 Uhr, 27.08.2012

so ist es.
LK = Linearkombination <> Leistungskurs

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