Lineare Abbildung: Aufgabe verstehen

Hallo zusammen,

Ich komme nicht ganz mit den linearen Abbildungen zu recht. Die sind ja eigentlich rechnerisch und so nicht schwer. Doch beim Verstehen gibts Schwierigkeiten.

Hier mal eine Aufgabe:

Gegeben sei der Vektorraum R3 mit Standardbasis E1={e1,e2,e3} und Basis B ={b1,b2,b} mit ${\displaystyle {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)}$

sowie der Vektorraum R2 mit Standardbasis E2=klar! und Basis C={c1,c2} mit ${\displaystyle {\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right),{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)}$.

Berechne die folgende Matrixdarstellung:

A1) ${\displaystyle {{}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

A2) ${\displaystyle {{}_{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}}$

Nun sei die lineare Abbildung von R3->R2 bezüglich der Basen E1 und E2 beschrieben durch die Matrix :${\displaystyle {{}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1}=(\begin{array}{ccc}2& -4& 0\\ 3& 1& -1\end{array})}$

Bestimme die folgende Matrixdarstellung:

B1) ${\displaystyle {{}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

B2)${\displaystyle {{}_{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

So ich will das langsam erarbeiten.

Zur A1: Heißt das dort ich soll den Basisvektor mithilfe der Standardbasis E1 ausdrücken. Was heißt die Identität dort?

Danke, ich glaube das mit id habe ich verstanden. Das mit beliebiger Abbildung muss ich noch schauen, denke das ist das aus dem B Teil.

Also nach dem was du geschrieben hast, habe ich die folgende Matrix für A1:

${\displaystyle {{}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)}$ Die erste Spalte z.B. enthält die Koeffizienten die nötig sind, um mithilfe der Standardbasis E1 den Vektor b1 der Basis B darzustellen. Das gleiche für die anderen Spalten, nur mit anderen Vektoren.

Zu A2:

Da habe ich ${\displaystyle {{}_{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}=(\begin{array}{c}0.5\\ 0\end{array}\begin{array}{c}0\\ 1\end{array})}$ raus.

Stimmt das so alles?

Ich habe mal im Skript nachgeschaut:

"In der Matrix cIDb stehen als Spalten die Koordinatentupel ${\displaystyle {}_{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right({\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left)\right)}$ der Elemente von B."

Also das was nachdem Symbol steht soll ich mit dem was davorsteht darstellen oder?

Zur B1:

Ich hab die Abbildung ${\displaystyle {{}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}2}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}1}}$ (R3-->R2)gegeben. Ich denke das ist eine Vorschrift, die sagt, wie ich die Standardbasis E1 abzubilden habe, mithilfe der

Standardbasis E2. Stimmt das?

Danke. Ne du machst das schon gut. Also ich nehme dann die Vektoren aus B und multipliziere die mit der Matrix M (Darstellungsmatrix der Abbildung). Das Resultat stelle ich mithilfe der Standardbasis E2 dar. Da das eine Standardbasis ist, bleibt das Ergebniss gleich.

Also kriege ich:

${\displaystyle (\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\begin{array}{c}6\\ 2\end{array})}$ für die B1.

Sagen wir mal ich hätte die Darstellungsmatrix bezüglich anderer Basen. Müsste ich dann erst die Vektoren die ich abbilden will, mithilfe dieser Basis die gegeben ist darstellen und dann den Koeffizientenvektor abbilden?

Ja irgendwie so.Das verwirrt alles bisschen.

Also ich hab z.B. andere Basen. Nicht die Standardbasis. Jetzt will ich einen Vektor abbilden. Die Darstellungsmatrix ist gegeben.

Kann ich den Vektor direkt mit der Matrix multiplizieren oder muss ich ihn erst durch die Basis darstellen und dann die Koeffizienten multiplizieren?

Ok, nur noch die letzte Aufgabe, B2:

Ich soll die Basis B abbilden und bezüglich C darstellen.

Die Abbildung habe ich ja schon in B1 gemacht. Nun soll ich diese durch die Basis C darstellen. Da kriege ich dann:

${\displaystyle (\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\begin{array}{c}3\\ 2\end{array})}$ Stimmt das so?

Danke euch für die Hilfe!

Das letzte Bild von gerdware, die Aufgaben B2. Bin mir nicht sicher ob das so stimmt, oder lieg ich da falsch. Ich hab was anderes raus (siehe oben).