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Lineare Abbildung - Bild, Urbild

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Tags: Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Vektorraum

Trsprob12 aktiv_icon

20:43 Uhr, 02.12.2019

Hi,
hätte Probleme mit folgender Aufgabe:

Wir wissen, dass die Abbildung

F : ℝ^{2 x 2} \to ℝ^{2 x 2}

linear ist und:

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{matrix})

a)

Nun bestimme das Bild

F (A)

von

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix})

b)

Bestimme ein Urbild

F^{- 1} (I)

von I

= (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

(also mind. 1 Matrix, die unter den gegebenen Infos zu

F

auf I abgebildet wird.)

Könnte mir jemand helfen, wie ich die ersten Schritte dieser Aufgabe durchführen sollte? Hab leider keinen Anhaltspunkt.
Vielen Dank schon für jeden Versuch zu helfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

20:56 Uhr, 02.12.2019

Hallo,

du musst für a) die Matrix

A

als Linearkombination der gegebenen Matrizen darstellen, der Matrizen, deren Bilder du kennst.

Bei b) musst du es "umgekehrt" machen, also

I

als Linearkombination der Bilder darstellen, um so auf die Ausgangsmatrix zu schließen.

Mfg Michael

Trsprob12 aktiv_icon

21:35 Uhr, 02.12.2019

Danke für deine Antwort.

Also nun muss ich folgendes machen:
zu

a)

(\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 2 & 2 \end{matrix}) = a \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + b \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + c \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

\to a = 3, b = 1, c = - 2

Nun setzen wir das ein:

F (A) = 3 \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) + (- 2) \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ 6 & 12 \end{matrix})

b)

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = a \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix}) + b \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) + c \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{matrix}) \to

Widerspruch, kein Bild möglich

Also ich denke mal das wird nun so in Ordnung sein!
Vielen Dank für deine Hilfe!! :-)

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