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Lineare Abbildung bezüglich Standardbasis

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Lineare Abbildungen

Tags: Lineare Abbildungen

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17:26 Uhr, 04.04.2013

Hey!
Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich das Beispiel anfangen soll?

Die lineare Abbildung

l

werde bezüglich der Basis

{(1, 2), (2, 3)}

durch die Matrix

A = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})

vermittelt. Wie lautet die Matrix, die dieselbe Abbildung bezüglich der Standardbasis vermittelt?

Danke

michaL aktiv_icon

17:30 Uhr, 04.04.2013

Hallo,

kannst du aus den Bildern von

(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array})

und

(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array})

das Bild von

(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array})

berechnen?
Und daraus (und den vorherigen) das von

(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array})

?
Und daraus (und den vorherigen) das von

(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array})

?

Dan wärst du fertig!

Mfg Michael

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17:43 Uhr, 04.04.2013

Meinst du ich soll die lineare Abhängigkeit der 3 Bilder berechnen?

michaL aktiv_icon

17:47 Uhr, 04.04.2013

Hallo,

ich meine z.b., dass

(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array})

gilt.
Und dass daraus eine ähnliche Gleichung für deren Bilder gilt.

Wenn das mit "die lineare Abhängigkeit der 3 Bilder berechnen" gemeint ist, dann ja, sonst nicht.

Mfg Michael

EDIT: copy+paste-Fehler behoben

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17:59 Uhr, 04.04.2013

Ach, so meinst du das :-)
Aber ergibt nicht:

(2, 3) - (1, 2) = (1, 1)

(1, 2) - (1, 1) = (0, 1)

(1,1) - (0, 1) = (1, 0)

Aber ich wüsste nicht, wie mich das weiter bringen sollte...

michaL aktiv_icon

18:04 Uhr, 04.04.2013

Hallo,

doch ergibt es.
Danke für den Hinweis. Vektoren sind umständlich zu codieren hier, da habe ich copy+paste angewendet. Offenbar beim falschen Vektor. Ist nun behoben.

Und ja, so meinte ich das.

Mfg Michael

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18:20 Uhr, 04.04.2013

Okay :-)
Aber wie mach ich jetzt weiter?
Ich weiß meine Standardbasis ist

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}),

aber das hilft mir auch nicht...

michaL aktiv_icon

18:25 Uhr, 04.04.2013

Hallo,

ich schrieb:
> Und dass daraus eine ähnliche Gleichung für deren Bilder gilt.

Darüber hast du dir offenbar keine Gedanken gemacht.

Mfg Michael

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14:04 Uhr, 05.04.2013

Könnte ich nicht einfach soetwas machen wie:

A' = A \cdot S^{- 1}

?
Und

S^{- 1}

sei meine inverse Basis?

Weil ich wüsste nicht, wie ich hier eine Gleichung aufstellen sollte...

anonymous

19:12 Uhr, 06.04.2013

Nicht ganz. Es müsste

A' = S \cdot A \cdot S^{- 1}

sein.

Ich versuche mal darzustellen, wie man da wohl allgemein am ehesten bei einem solchen Basiswechsel vorgehen würde:

Zusammengefasst:

Man sollte die Transformationsmatrizen

S = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})

und

S^{- 1}

aufstellen.
Dann gilt

A' = S \cdot A \cdot S^{- 1}

.

Denn es gilt:

{[l]}_{B'}^{B'} = {[i d]}_{B'}^{B} \cdot {[l]}_{B}^{B} \cdot {[i d]}_{B}^{B'}

wobei

A' = {[l]}_{B'}^{B'}

A = {[l]}_{B}^{B}

S = {[i d]}_{B'}^{B}

S^{- 1} = {[i d]}_{B}^{B'}

Also musst du in diesem Fall die Matrix

S,

welche hier der entsprechenden Basis entspricht, invertieren um

S^{- 1}

zu erhalten und dann enstprechend

A' = S \cdot A \cdot S^{- 1}

berechnen.

Siehe evtl. auch:
http//de.wikipedia.org/wiki/Basiswechsel_%28Vektorraum%29#Basiswechsel_bei_Abbildungsmatrizen

Ausführlichere Erklärung, warum das so ist:

Du hast eine Matrix bezüglich der Basis

{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix})}

.

Hier ist schon ein Problem in der Aufgabenstellung. Ist die Matrix A nun dargestellt zur geordneten Basis

((\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}))

oder zur geordneten Basis

((\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}))

.

Denn

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})

zur geordneten Basis

((\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}))

ist nicht das Gleiche wie

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})

zur geordneten Basis

((\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}))

.

Denn

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - 2 \end{matrix})

zur geordneten Basis

((\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}))

ist das Gleiche wie

(\begin{matrix} - 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

zur geordneten Basis

((\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}); (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}))

.

Im Folgenden gehe ich von der geordneten Basis

B = ((\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}))

aus.

Nun kann man die Transformationsmatrix

S = {[i d]}_{B'}^{B}

aufstellen, die einen Vektor aus dieser geordneten Basis in die Standardbasis umrechnet. Daher soll gelten:

S \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

und

S \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}),

also

S \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})

Daher weiß man nun, wie die Transformationsmatrix

S

aussieht:

S = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})

Nun braucht man noch die Matrix

S^{- 1} = {[i d]}_{B}^{B'}

für die Rücktransformation:

S^{- 1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

und

S^{- 1} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}),

also

S^{- 1} \cdot (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Man kann hier also leicht erkennen dass

S^{- 1}

das Inverse von

S

ist, was ja auch logisch ist.

Daher kann man nun die Darstellung einses Vektors

x

zur einen Basis in eine Darstellung von

x

zur andren Basis umrechnen.

{[x]}_{B} = {[i d]}_{B}^{B'} \cdot {[x]}_{B'}

und

{[x]}_{B'} = {[i d]}_{B'}^{B} \cdot {[x]}_{B}

Also:

{[x]}_{B} = S^{- 1} \cdot {[x]}_{B'}

und

{[x]}_{B'} = S \cdot {[x]}_{B}

Wenn man nun einen Vektor

x

mit Abbildung

l

abbildet, so erhält man einen Vektor

y

.
Also:

y = l (x)

A = A = {[l]}_{B}^{B}

nun die Matrix von

l

dargestellt zur Basis

((\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}))

ist, muss gelten:

{[y]}_{B} = A \cdot {[x]}_{B}

Nun will man eine Matrix

A' = {[l]}_{B'}^{B'}

dargstellt zur Basis

B' = ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}))

. So dass:

{[y]}_{B'} = A' \cdot {[x]}_{B'}

Geht man also von

{[y]}_{B} = A \cdot {[x]}_{B}

aus, so erhält man durch Transformation der Vektoren

S^{- 1} \cdot {[y]}_{B'} = A \cdot S^{- 1} \cdot {[x]}_{B'}

Also:

{[y]}_{B'} = S \cdot A \cdot S^{- 1} \cdot {[x]}_{B'}

Daher muss gelten:

A' = S \cdot A \cdot S^{- 1}

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20:04 Uhr, 06.04.2013

Ahhh, okay danke :-)

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