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Lineare Abbildung die Vektor an Gerade spiegelt

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Tags: Eigenwert, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, spiegeln, spiegelung, Vektor, Vektorraum

Manuel91 aktiv_icon

00:35 Uhr, 15.11.2017

Hey Leute ich habe eine Frage zum folgenden Beispiel:

"Sei

s

die lineare Abbildung, die jeden Vektor im

R 2

an der Geraden

y = \frac{2}{3} x

spiegelt.

a)

Geben Sie die Abbildungsmatrix von

s

bzgl. einer Basis aus Eigenvektoren an.

b)

Berechnen Sie die Abbildungsmatrix von

s

bzgl. der Standardbasis."

Wie gehe ich vor allem bei

a)

vor?

Ich habe gerade erst ein ähnliches Beispiel mit einer Spiegelung an einer Ebene gelöst wo ich mir zwei Punkte auf der Ebene, die die Ebenengleichung erfüllen gesucht habe, sowie einen Normalvektor auf die Ebene. Und mithilfe dieser konnte ich dann eine Matrix erstellen.
Gehe ich hier ähnlich vor? Ich bräuchte bitte einen kleinen Denkanstoß, Danke!

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Hyperbeln
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten

Hyperbeln
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung

Manuel91 aktiv_icon

01:06 Uhr, 15.11.2017

Nachtrag:

Ich glaube zu wissen, dass ich mir mit einer orthogonalen Gerade weiterhelfen kann, diese hätte dann die Steigung

- \frac{3}{2},

allerdings weiß ich nicht wie ich damit auf meine Abbildungsmatrix komme.

Danke

pwmeyer aktiv_icon

09:32 Uhr, 15.11.2017

Hallo,

das geht hier genau so, wie Du es für die Ebene beschrieben hast. Du nimmst einen Vektor parallel zu Geraden und einen senkrecht zur Geraden und überlegst, wie diese durch

s

abgebildet werden.

Gruß pwm

Manuel91 aktiv_icon

18:14 Uhr, 15.11.2017

Perfekt, danke! Bitte um Richtigstellung falls ich falsch liegen sollte, ich denke ich habe zumindest meine Abbildung gefunden :-)

Ich habe meine Geradengleichung

y = \frac{2}{3} \cdot x

auf

\frac{2}{3} \cdot x - y = 0

umgestellt.
Für einen Vektor parallel zur Gerade suche ich mir Werte, die die Geradenglg. lösen, also

z . B . : \vec{x 1} = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix})

Für meinen Normalvektor lese ich einfach die Koeffizienten der Geradenglg. ab, also:

\vec{x 2} = (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix})

Dann überlege ich mir was meine Abbildung mit den Vektoren macht.

\vec{x 1} = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix})

wird abgebildet auf

\vec{x 1 B} = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix})

. Es ändert sich nichts da er ja parallel bzw. auf der Geraden liegt.

\vec{x 2} = (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix})

wird abgebildet auf

\vec{x 2 B} = (\begin{matrix} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{matrix}),

also wechselt er durch die Spiegelung die Vorzeichen.

Dann habe ich die Bilder der Vektoren einen nach dem anderen anhand der Basis der Vektoren dar, die ich gefunden habe und kann so folgende Gleichungssystem aufstellen:

(\begin{matrix} - \frac{2}{3} \\ 1 \end{matrix}) = λ 1 \cdot (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix}) + λ 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix}) = μ 1 \cdot (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix}) + μ 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix})

Die Koeffzienten, die ich erhalte schreibe ich dann in der Form

(\begin{matrix} λ 1 & μ 1 \\ λ 2 & μ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

auf. Stimmt das soweit?

Wenn ich dann noch die Eigenwerte und Eigenvektoren berechne, habe ich dann auch schon meine Basis aus Eigenvektoren oder?
Diese wäre dann doch:

\vec{v 1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

und

\vec{v 2} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})

Wenn ich dann weiterdenke lassen sich Punkt

a)

und

b)

in einem erledigen. Meine Basis aus Eigenvektoren hat doch die gleiche Form wie die Standardbasis und deswegen ist meine Abbildung

s

bzgl. der Basis aus Eigenvektoren einfach nur die Abbildung selbst und dasselbe bei Punkt

b)

. Ich hoffe ich liege damit halbwegs richtig.

Danke schon im Vorhinein!

pwmeyer aktiv_icon

19:52 Uhr, 15.11.2017

Hallo,

ist begrifflich noch nicht ganz richtig.

Du hast die Vektoren

x 1 = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix})

und

x 2 = (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix})

. Diese bilden eine Basis aus Eigenvektoren von

s

. Denn es gilt ja, wie Du gesagt hast:

s (x 1) = 1 \cdot x 1

und

s (x 2) = (- 1) \cdot x 2 -

mit den Eigenwerten 1 und

- 1

.

Demnach ist die Darstellung von

s

bezüglich der Basis

{x 1, x 2}

durch

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

gegeben (Du hattest die Reihenfolge von

x 1

und

x 2

vertauscht, was egal ist).

Um jetzt die Darstellung bezüglich der Standardbasis zu berechnen musst Du einen beliebigen Vektor

x \in ℝ^{2}

als Linearkombination aus den Basisvektoren darstellen:

x = α \cdot x 1 + β \cdot x 2

und damit

s (x)

berechnen. (Eventuell habt Ihr auch eine Formel mit Matrizen und Inversen dafür aufgestellt)

Gruß pwm

Manuel91 aktiv_icon

20:25 Uhr, 15.11.2017

ok, ich bin ein wenig verwirrt haha.

Also meine Basis aus Eigenvektoren sind einfach

\vec{x 1} = (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix})

und

\vec{x 2} = (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix})

.
Meine Abbildung

s

bzgl. dieser Basis aus Eigenvektoren ist

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Einen beliebigen Vektor aus dem

R 2

? Wie genau meinst du das?

Was bekomme ich wenn ich

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = α 1 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix}) + α 2 \cdot (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = β 1 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix}) + β 2 \cdot (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix})

ausrechne? Ist das nicht meine Darstellungsmatrix bzgl. Standardbasis?

Könntest du mir bitte den genauen Rechengang mit Zahlen sagen? Danke!

Manuel91 aktiv_icon

21:06 Uhr, 15.11.2017

Mich verwirrt vor allem der beliebige Vektor ziemlich.

Ich muss mir also

s (x),

also die Bilder von

\vec{x 1}

und

\vec{x 2}

nach der Spiegelung erneut als Linearkombination ausrechnen.

Das einzige Glied, das mir fehlt ist jetzt dieser beliebige Vektor, ich nenne ihn jetzt

\vec{b}

für beliebig.

Ich habe ja:

(\begin{matrix} b 1 \\ b 2 \end{matrix}) = α 1 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix}) + α 2 \cdot (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} b 1 \\ b 2 \end{matrix}) = β 1 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ \frac{2}{3} \end{matrix}) + β 2 \cdot (\begin{matrix} \frac{2}{3} \\ - 1 \end{matrix})

und mithilfe dieser

α -

und beta-Werte versuche ich dann

s (x)

darzustellen oder wie?

maxsymca

21:34 Uhr, 15.11.2017

Ich arbeite mich mal mit der Standardbasis ran:
In GeoGebra CAS
1:A:={{a11,a12},{a21,a22}}
Abbilden der Standardbasis n Normalenvektor der Geraden
2:{A*e1 - e1 + (2/sqrt(n^2)*n*e1)*n/sqrt(n^2) , A*e2 - e2 + (2/sqrt(n^2)*n*e2)*n/sqrt(n^2)}
3:Solve(

$ 2, f l a t t e n (A))

{{a 11 = \frac{5}{13}, a 12 = \frac{12}{13}, a 21 = \frac{12}{13}, a 22 = - \frac{5}{13}}}

4:S:=Substitute(A,

$ 3)

S := (\begin{array}{rr} \frac{5}{13} & \frac{12}{13} \\ \frac{12}{13} & - \frac{5}{13} \end{array})

Manuel91 aktiv_icon

22:18 Uhr, 15.11.2017

Mit welcher Formel bist du auf das Ergebnis gekommen? Sieht sehr kompliziert aus und ich kann leider nicht wirklich etwas herauslesen, sry..

Ich nehme an A soll meine lineare Abbildung

s

sein?

maxsymca

22:37 Uhr, 15.11.2017

A ist die allgemeine 2x2 Matrix, die die Spiegelungsmatrix werden soll.

Dann konstruiere ich die Bilder der Basisvektoren e1 e2
(e1*n)/sqrt(n^2)
ergibt den Abstand des Punktes e1 von der Gerade mit Normalenvektor n, damit marschiert man von e1 den doppelten Abstand in Richtung des normierten Normalenvektors
n/sqrt(n^2)
auf die "andere Seite" der Geraden zum Bildpunkt:

A e1 = e1 - 2*(e1*n)/sqrt(n^2) * n/sqrt(n^2)

das gleiche für e2. Du hast 4 Gleichungen zur Bestimmung der 4 Matrixelemente...Solve löst das Gleichungssystem a11=.....
Substitute setzt die Lösung in A ein und man erhält S

Manuel91 aktiv_icon

22:42 Uhr, 15.11.2017

Gut, bevor ich das versuche,

e 1

und

e 2

sind die die Vektoren der Standardbasis? und

n

ist einfach mein Normalvektor den ich von Anfang an hatte, richtig?

maxsymca

23:00 Uhr, 15.11.2017

Rischtisch..

e 1 = (1,0)

e 2 = (0,1)

n = (- \frac{2}{3}, 1)

oder gleich

\frac{n}{\sqrt{n^{2}}} = (- \frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}})

Femat aktiv_icon

17:43 Uhr, 16.11.2017

Oder so
Punkt

B

wählen, Dreieck bilden Dreieck um

90

Grad drehen, dann Punktspiegelung
die Idee stammt von einem ausgezeichneten Youtube-Filmchen

maxsymca

18:11 Uhr, 16.11.2017

Hallo Femat...

Da basst abber was net...
Determinante(

{

{5/13,12/13},{6/5,-1/5}})=(-1.184615384615)

Femat aktiv_icon

19:25 Uhr, 16.11.2017

So so im Film hat sie

det - 1

youtu.be/iPc6xPMD9C0

maxsymca

19:51 Uhr, 16.11.2017

Ich würde mich nie trauen was gegen Jörn Loviscach sagen zu wollen, zumal seine Matrix diagonalsymmetrisch ist und die richtige Determinante hat - was man von Deiner halt nicht sagen kann - passt nicht auf die allgemeine Bauform einer Drehmatrix...

mac

Femat aktiv_icon

23:26 Uhr, 16.11.2017

Ich habe das Gleichungssystem im TI-Nspire CX CAS eingegeben wie im Bild und er hat mir falsche werte ausgegeben.
Jetzt kann er das, nachdem ich ein aktuelles Update installiert habe.
Ich hätte allerdings aus der 1. und 3. Gleichung a und

b

und aus der 2. und 4. die

c

und

d

berechnen können.

Mein Fazit: es schadet nie etwas mehr zu denken. Ein Update ist nützlich.

Ich entschuldige mich für allfällige Unannehmlichkeiten

maxsymca

13:55 Uhr, 17.11.2017

Hallo Femat,

wie heißt es im hohen Norden; da nicht für!
Schließlich sind wir zusammen gekommen...
Es beruhigt mich, dass man sich nicht nur über freie Software ärgern muss ;-)
GeoGebra prooft

ermanus aktiv_icon

15:12 Uhr, 17.11.2017

Hallo,
hier noch ein paar Tipps bzgl. der Spiegelungsabbildung

s

.
Man muss die Vektoren bei der Rechnung nicht normieren, da im Nachherein die
Quadratwurzeln ohnehin wieder rausfliegen.
Ich verwende

< u, v >

für das Skalarprodukt von

u

und

v

.
Ist nun

u

ein Vektor, so ist die Projektion von

u

in Richtung des
Vektors

v

gegeben durch

\frac{< u, v >}{< v, v >} v

.

Wenn nun

n

ein Normalenvektor zu der vorgegebenen
Geraden ist, dann ergibt sich

s (v) = v - 2 \frac{< v, n >}{< n, n >} n

.

Da

(\binom{3}{2})

ein Richtungsvektor zur Geraden ist, ist

n = (\binom{- 2}{3})

ein Normalenvektor. Setzt man nun für

v

die beiden Standardeinheitsvektoren jeweils ein,
bekommt man die Spalten der zu

s

gehörigen Matrix.

Gruß ermanus

Femat aktiv_icon

18:04 Uhr, 17.11.2017

Danke für den klugen Hinweis

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