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Lineare Abbildung surjektiv, aber nicht injektiv

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Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

Khokta aktiv_icon

13:05 Uhr, 11.12.2015

Hallo zusammen! Ich brauche bitte Hilfe bei folgendem Beispiel:

V = {(a_{1}, a_{2}, ...) : a_{i} \in ℝ}

. Sei

T : V \to V,

mit

T (a_{1}, a_{2}, ...) := (a_{2}, a_{3}, ...)

Also dass

T

linear ist habe ich bereits gezeigt.
Nun soll ich zeigen

T

ist surjektiv aber nicht injektiv.

Für das Bild von

T

gilt

T (V) = T {(a_{1}, a_{2}, ...) : a_{i} \in ℝ} = {(a_{2}, a_{3}, ...) : a_{i} \in ℝ} = V,

also

T (V) = V

und daraus folgt

T

ist surjektiv.
Ist das so korrekt?
Und wie kann ich nun vorgehen um zu zeigen dass

T

nicht injektiv ist? Ich weiß nur, dass gilt

T

injektiv

\Leftrightarrow

kernT=

{

0'} (0'=Nullvektor)

Liebe Grüße
Khokta

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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13:06 Uhr, 11.12.2015

"Ist das so korrekt?"

Ja, geht.

"Und wie kann ich nun vorgehen um zu zeigen dass nicht injektiv ist?"

Was ist das Bild von

(1, 0, 0, 0, . . . .)

Khokta aktiv_icon

13:12 Uhr, 11.12.2015

Da bin ich mir jetzt nicht sicher aber ich würde sagen das Bild von

(1,0, ...)

ist

(2,0,0 ...)

?

Obwohl das kann eigentlich nicht stimmen

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13:14 Uhr, 11.12.2015

Nein, das stimmt natürlich nicht. Was ist

a_{1}

und was ist

a_{2}

(1, 0, 0, . . .)

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13:18 Uhr, 11.12.2015

a_{1} = 1

und

a_{2} = 0

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13:19 Uhr, 11.12.2015

Richtig. Und was ist das Bild also?

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13:21 Uhr, 11.12.2015

(a_{1},0,0,0, ...)

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13:23 Uhr, 11.12.2015

Wo hast Du im Bild

a_{1}

gesehen? Kuck mal wieder auf die Definition der Abbildung!
Diese Abbildung tut doch nichts Anderes, als die Folge nach links um eine Stelle zu schieben.

Khokta aktiv_icon

13:26 Uhr, 11.12.2015

Sry wenn ich grad total auf dem Schlauch steh aber dann wäre das

(a_{2}, 0,0, ...)

?

Bzw Das Bild von

(1,0,0, ...)

ist

(0,0, ...)

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13:40 Uhr, 11.12.2015

Und weil

T (1) = T (0),

für

a_{1} = 1

und

a_{2} = 0

ist die Abbildung nicht injektiv da

1 \neq 0

und somit

a_{1} \neq a_{2}

Stimmt das so?

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13:52 Uhr, 11.12.2015

Jetzt schon besser. Nur ist

T (1)

bzw.

T (0)

sinnlos, denn

T

ist nicht auf Zahlen definiert, sondern auf Folgen. Richtig ist

T (1, 0, 0, . . .) = T (0, 0, 0, . . .)

Khokta aktiv_icon

14:02 Uhr, 11.12.2015

Okay super vielen Dank für die Hilfe! Eine Frage hätte ich noch:
Der Kern von

T

wäre dann die Menge

{(a_{1},0,0, ...)}

wobei

a_{1} \in ℝ

beliebig.
Kann man das so schreiben?

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14:12 Uhr, 11.12.2015

Ja, kann man.

Khokta aktiv_icon

14:15 Uhr, 11.12.2015

Gut nun hab ich es verstanden, vielen Dank nochmal!!

Liebe Grüße
Khokta

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