Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lineare Abbildung/Kern/Bild

Lineare Abbildung/Kern/Bild

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Algebra

Maccaroni aktiv_icon

12:46 Uhr, 10.05.2011

Hallo,

wir sitzen hier an einen Problem und kommen nicht wirklich weiter.

Wir sollen durch Urbild und Bildvektoren eine reelle

2 x 2

Matrix bestimmten, und zwar so, dass gilt:

2 ist im Kern von der zur Matrix gehörenden Linearen Abbildung und
4
2 ist das Bild von
0
2

- 3

Es wird von

R^{2}

nach

R^{2}

abgebildet.

Was wir bisher wissen ist das der Urbildraum als Definitionsbereich aufgefasst werden kann. Der Bildraum als Wertebereich.
Das hilft uns aber reichlich wenig...
Was ist ein Kern genau, was ein Bildraum? Mit der mathematischen Definition können wir nichts anfangen - das hilft uns so überhaupt gar nicht.

Ps: Wie schreibe ich hier Vektoren?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

14:21 Uhr, 10.05.2011

Hi,

Vektoren schreiben: Im Editor auf Experten-Modus wechseln und dann den Button "Welche Latex-Befehle werden unterstützt?" klicken. Nach unten scrollen, bis Vektoren auftauchen, da steht alles weitere.

Beginnen wir mal mit dem Kern. Ich schreibe mal die Definition hin, und ihr sagt mir, was ihr nicht versteht (Motto: Hilfe zur Selbsthilfe), denn eigentlich gibt es da nicht viel zu erklären.

K e r n (A) := {x \in ℝ^{m} : A x = 0}

, wobei

A \in ℝ^{n \times m}

ist. In eurem speziellen Fall gilt hier:

n = m = 2

.

Gruß
Sina

Gerd30.1 aktiv_icon

19:33 Uhr, 10.05.2011

Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe ist

f (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

und

f (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix}),

also mit

A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

gilt

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \end{matrix}) \Rightarrow

2 a = 2 \Rightarrow a = 1

2.2 c = - 3 \Rightarrow c = - \frac{3}{2}

2 a + 2 b = 0 \Rightarrow 2 + 2 b = 0 \Rightarrow b = - 1

2 c + 2 d = 0 = < - 3 + 2 d = 0 \Rightarrow d = \frac{3}{2}

also

A = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{matrix})

Maccaroni aktiv_icon

14:03 Uhr, 11.05.2011

Die Definition heißt also nicht anderes als das ganze mit 0 zu multiplizieren?

Wie du auf das LGS gekommen bist kann ich nach voll ziehen, aber nicht wie du die einzelenen "Therme" bekommst. Besonders die letzten beiden

2 a + 2 b . .

Gerd30.1 aktiv_icon

16:09 Uhr, 11.05.2011

wo wird denn da mit 0 multipliziert??
Unter dem Kern versteht man alle Vektoren

\vec{v},

die auf

\vec{0}

abgebildet werden, also

f (\vec{v}) = A \vec{v} = \vec{0}

Unter dem Bild

\vec{w}

versteht man alle Vektoren

\vec{v},

die auf

\vec{w}

abgebildet werden

Maccaroni aktiv_icon

09:43 Uhr, 13.05.2011

Ich denk ich habs, danke :-)

887571

886595

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?