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Lineare Algebra

Schüler

Tags: Koeffizientenspielchen

Randolph Esser aktiv_icon

13:05 Uhr, 16.10.2026

Hallo Leute,

anknüpfend an meinen letzten Thread geht es weiter
mit einer etwas schrulligen Aufgabe, wie ich finde,
die sich im Anhang befindet
(dort steht auch eine erste alte, wenig elaborierte Antwort von mir).
Hier dazu meine aktuelle, vorläufige Antwort:

Seien

V

ein

ℂ

-Vektorraum,

n \in ℕ_{\geq 0}

und

v_{1}, ..., v_{n} \in V

.
OBdA kann

d i m (V) \geq n

angenommen werden.
Dann gibt es maximal

s \leq n

über

ℝ

linear unabhängige Vektoren im System

v_{1}, . ., v_{n},

die den UVR

L_{ℝ} (v_{1}, ..., v_{n})

aufspannen
und nach eventuellem Umordnen kann also

L_{ℝ} (v_{1}, . ., v_{n}) = L_{ℝ} (v_{1}, . ., v_{s})

angenommen werden
und insbesondere

d i m_{ℝ} (L_{ℝ} (v_{1}, . ., v_{n})) = d i m_{ℝ} (L_{ℝ} (v_{1}, . ., v_{s})) = s

.
Seien nun

λ_{k} = α_{k} + i β_{k} \in ℂ

mit

α_{k}, β_{k} \in ℝ

für alle

1 \leq k \leq n

.
Dann zeigt die Rechnung

\sum_{k = 1}^{n} λ_{k} v_{k} = \sum_{k = 1}^{n} α_{k} v_{k} + i \sum_{k = 1}^{n} β_{k} v_{k},

dass

d i m_{ℝ} (L_{ℂ} (v_{1}, ..., v_{n})) = 2 s

gilt

(v_{1}, ..., v_{s}, i v_{1}, ..., i v_{s}

ist eine

ℝ

-Basis von

L_{ℂ} (v_{1}, . ., v_{n}))

.
Die Zahlenpaare sind also

{(r, s) \in ℕ_{\geq 0}^{2} : s \leq n, r = 2 s}

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Wie findet ihr meinen Abwasch,
wie würdet ihr die Aufgabe bearbeiten ?

Randolph Esser aktiv_icon

14:19 Uhr, 16.10.2026

Meine Antwort oben ist sicher falsch, Gegenbeispiel:

V = ℂ

als

ℂ

-Vektorraum und

1, i \in ℂ,

also

n = 2

.
Dann gilt

s = d i m_{ℝ} (L_{ℝ} (1, i)) = d i m_{ℝ} (ℂ) = 2

und auch

r = d i m_{ℝ} (L_{ℂ} (1, i)) = d i m_{ℝ} (ℂ) = 2

.

Wegen

L_{ℂ} (v_{1}, ..., v_{n}) = L_{ℝ} (v_{1}, ..., v_{n}, i v_{1}, ..., i v_{n})

und somit

d i m_{ℝ} (L_{ℂ} (v_{1}, ..., v_{n})) = d i m_{ℝ} (L_{ℝ} (v_{1}, ..., v_{n}, i v_{1}, ..., i v_{n}))

ziehe ich mich für gegebenes

n

und einen gegebenen Vektorraum auf

{(r, s) \in ℕ_{\geq 0}^{2} : s = {dim}_{ℝ} (L_{ℝ} (v_{1}, ..., v_{n})) \leq 2 d i m_{ℂ} (V), s \leq r \leq m a x (2 s, 2 d i m_{ℂ} (V))},

und da man den Vektorraum (wie auch die

n

Vektoren) frei wählen darf, dann auf die Antwort

{(r, s) \in ℕ_{\geq 0}^{2} : s \leq n, s \leq r \leq 2 s}

für gegebenes

n

zurück.

Wer kennt/kann diese Aufgabe schon/hat eine Musterlösung ?

Randolph Esser aktiv_icon

12:09 Uhr, 17.10.2026

Hallo nochmal,
hat sich erledigt.
Ich kann die Aufgabe nun vollständig und korrekt beantworten.
Wenn ihr wollt (der Matheboss), könnt ihr diesen Thread
hier gerne löschen.
Ich selbst kann das wohl nicht...

Wenn einer ne Musterlösung zu der Aufgabe hat,
wäre ich aber immer noch interessiert.

Punov aktiv_icon

12:32 Uhr, 17.10.2026

Hallo!

Ich denke, die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe besteht hauptsächlich darin, erstmal zu verstehen, was man machen soll. Daher ist sie vermutlich mit einem Sternchen (wahrscheinlich für "etwas anspruchsvoller") markiert.

Der Einleitungstext legt nahe, dass man das dort Gesagte für den komplexen Vektorraum

L_{ℂ} (v_{1}, \dots, v_{n})

durchspielen soll, also mal

d := dim L_{ℂ} (v_{1}, \dots, v_{n})

setzt und dann (erstmal notwendige) Bedingungen für

r

und

s

in Abhängigkeit von

d

bestimmt.

Wenn ich das mache, bekomme ich zu jedem Paar

(r, s)

die Bedingungen

(1)

r = 2 d

mit

0 \leq d \leq n

,
(2)

d \leq s \leq min {2 d, n}

.

Streng genommen muss man jetzt noch zeigen, dass diese Bedingungen auch hinreichend sind, d.h. wenn ein Paar

(r, s)

die Bedingungen (1) und (2) erfüllt, dann existieren so ein Raum und solche Vektoren auch tatsächlich. Um das zu zeigen, kann man am besten eine einfache Konstruktion für einen solchen Raum / solche Vektoren angeben, am einfachsten wohl, indem man

V = ℂ^{n}

mit Standardbasisvektoren

e_{1}, \dots, e_{n}

nimmt und dann

v_{k} = e_{k}

für

1 \leq k \leq d

v_{d + k} = i e_{k}

für

1 \leq k \leq s - d

v_{k} = 0

für

s + 1 \leq k \leq n

wählt.

Deckt sich das mit deinen Ergebnissen?

Viele Grüße

Randolph Esser aktiv_icon

13:25 Uhr, 17.10.2026

Hallo Punov,

Danke für Deinen Beitrag, Treffer, versenkt.
Das Problem wäre jetzt noch, das Ganze
schön vollständig und formal korrekt hinzuschreiben.
Ich bin im Moment ein bisschen faul
und auch schon wieder ein Kapitel weiter
(bei dem nächsten Problemkind), also werde
ich das nicht in Angriff nehmen.
Wenn einer eine Musterlösung hätte,
wäre das nicht schlecht...

Punov aktiv_icon

14:45 Uhr, 18.10.2026

Hallo,

um mir etwas Schreibarbeit zu schreiben, seien

L_{C} := L_{ℂ} (v_{1}, \dots, v_{n})

und

L_{R} := L_{ℝ} (v_{1}, \dots, v_{n})

sowie

d := {dim}_{ℂ} L_{C}

.

Da

v_{1}, \dots, v_{n}

die Hülle

L_{C}

erzeugen, gilt

0 \leq d \leq n

. Fasst man

L_{C}

als reellen Vektorraum auf, verdoppelt sich seine Dimension, also

r = 2 d

. Somit ist

r

eine gerade Zahl mit

0 \leq r \leq 2 n

.

Da

L_{R}

von maximal

n

Vektoren aufgespannt wird, gilt

s \leq n

und da

L_{R} \subseteq L_{C}

, gilt außerdem

s \leq r

, somit

s \leq min (n, r) = min (n, 2 d)

. Weiter lässt sich

L_{C}

schreiben als

L_{C} = L_{R} + i L_{R}

und mit der Dimensionsformel für Untervektorräume folgt

r \leq s + {dim}_{ℝ} (i L_{R}) = 2 s

bzw.

d = r / 2 \leq s

, sodass insgesamt

d \leq s \leq min (n, 2 d)

.

Den Existenzbeweis per Konstruktion habe ich ja oben schon aufgeschrieben und damit ist der Beweis fertig.

----

Vielleicht noch als Ergänzung nebenbei:

Die Summe

L_{C} = L_{R} + i L_{R}

ist im Allgemeinen nicht direkt. Zum Beispiel seien

V = ℂ^{2}

sowie

v_{1} = e_{1}

und

v_{2} = i v_{1} = (i, 0)

. Dann gilt

s = 2

L_{R} = i L_{R}

und somit ist die Summe nicht direkt. Wenn man aber z.B.

v_{1} = e_{1}

und

v_{2} = e_{2}

nimmt, ist die Summe direkt, also

L_{C} = L_{R} \oplus i L_{R}

, und die untere Schranke für

s

wird exakt angenommen.

Randolph Esser aktiv_icon

18:00 Uhr, 18.10.2026

Hallo Punov,

vielen Dank für die weiteren Erläuterungen.
Ja, diese Trick verstehe ich wohl,

z . B

. dass

{dim}_{ℝ} (L_{ℂ} (e_{1}, ..., e_{k}))

= {dim}_{ℝ} (L_{ℝ} (e_{1}, ..., e_{k}, i e_{1}, ... ., i e_{k}))

= 2 k

= 2 {dim}_{ℝ} (L_{ℝ} (e_{1}, ..., e_{k}))

= 2 {dim}_{ℂ} (L_{ℂ} (e_{1}, ..., e_{k})),

also dass

e_{k}

und

i e_{k}

über

ℝ

linear unabhängig
und über

ℂ

linear abhängig sind, usw.,
und dass und wie man damit Beispiele für die Tupel

(r, s)

konstruieren kann.
Alles sehr klar jetzt, Danke.

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