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Lineare Algebra
Schüler
Tags: Aufgabe 4
 
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Hallo, letzte noch kommunizierende Mathemenschen, hier als Anhang eine Aufgabe mit einer Bearbeitung von mir. Ich erkläre dort nicht alles, damit der Beweis nicht zu lang wird. Und wer hier einsteigen will, sollte bereit sein, sich auf eine Aufgabe einzulassen, die zunächst etwas pompös daherkommt (vielleicht gibt es aber auch eine ganz einfache Lösung, die ich nur nicht sehe). Ich hätte gerne Feedback, Tipps, Meinungen zu meiner Bearbeitung oder auch andere Bearbeitungen oder vielleicht sogar eine Musterlösung...  |
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Hallo! Erstmal Respekt für den Beweis. Der strukturelle Ansatz, die Aussage über den Homomorphiesatz und Quotientenräume zu faktorisieren, statt nur stumpf Elemente zu jagen, ist wirklich extrem elegant und durchdacht. Ich nehme an, du hast dich irgendwo inspirieren lassen? Allerdings gibt es ein paar inhaltliche Fehler, Ungenauigkeiten und unnötigen Ballast, die in einer Korrektur oder Prüfung definitiv zu Punktabzug führen würden. Hier ist die detaillierte Liste, was du korrigieren müsstest: (1) Du schreibst einmal "... mit ...", das müsste korrekt lauten, was wegen der Exaktheit identisch mit ist. (2) Formuliere präziser: Die Einschränkung ist ein Isomorphismus. Gleiches gilt für die Einschränkung von auf den Kern. (3) In deiner Skizze zeigen die Pfeile für und direkt auf die "großen" Räume und . Das ist formal falsch, da der Homomorphiesatz die Quotientenräume auf die Bilder abbildet. Die Pfeile müssen exakt auf die Unterräume und zeigen (da wegen Exaktheit gilt. (4) Der Pfeil kann komplett weg, was das neue Diagramm stark vereinfacht (es ist dann nur noch ein kommutatives Quadrat): Du definierst und versuchst es für die Surjektivität zu nutzen. Das ist ein künstlicher Umweg, den du gar nicht brauchst: Um das Element zu finden, nutzt du einfach direkt aus dem Originaldiagramm. Da laut den scharfen Voraussetzungen surjektiv ist, gibt es für sofort ein mit . Danach folgerst du über die Injektivität von , dass dieses in liegt und somit von der Form ist. (Wenn du doch bei bleiben möchtest, würde ich den Beweis der Bijektivität ausführen und in dem Diagramm Inklusionsabbildungen zwischenschalten.) Alternativ kannst du die theoretischen Werkzeuge (Homomorphiesatz, Quotientenräume) auch weglassen und ganz klassisch durch das Diagramm "jagen", um Injektivität und Surjektivität von zu zeigen: etwas umständlich, aber elementarer und daher, je nach Kontext, vielleicht angemessener. Man ist sonst schon irgendwie geneigt zu fragen: Wie kommt der auf so einen Beweis? Viele Grüße PS. Mit welchem Buch arbeitest du da eigentlich, wenn ich fragen darf? |
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Hallo Punov, vielen Dank für Dein Feedback. Die Fehler werde ich demnächst, ab morgen oder so, angehen. Den Beweis habe ich selber gemacht, kein Scherz, alles alleine. Ich versuche mal, die erste, alte Version hier anzuhängen, war ein großes Abenteuer für mich damals, diese Aufgabe. Das Buch ist dem Klaus Jänich seine Lineare Algebra. Ich bin jetzt wieder bei Kapitel .  |
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So, fertig. Ich habe nur den einen, harten Fehler korrigiert, der Rest gefällt mir so ganz gut. Vielen Dank nochmal für Dein Feedback !  |
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Haken machen... |
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