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Lineare Algebra

Schüler

Tags: Behauptung

Randolph Esser aktiv_icon

18:27 Uhr, 25.10.2026

Hello everybody,

ich habe eine höchstwahrscheinlich falsche Behauptung
und möchte wissen, wie ihr die zerfetzen würdet:

Ist A eine reelle, diagonalisierbare

n \times n

-Matrix,
so gibt es eine orthogonale Transformation

P \in O (n),

sodass

D := P^{- 1} A P

Diagonalgestalt hat
(beachte: statt

P^{- 1}

könnte man auch

P^{T}

schreiben, es gilt

P^{- 1} = P^{T})

.

"Beweis" (naiv gedacht): Es gibt

S \in G L (n, ℝ),

sodass

S^{- 1} A S

Diagonalgestalt hat. Orthonormalisiere
die Spalten von

S

(die eine Basis aus Eigenvektoren bilden)
und erhalte so

P

Randolph Esser aktiv_icon

03:02 Uhr, 26.10.2026

Ich beantworte es mal selber:

Gilt für eine reelle

n \times n

-Matrix A und

P \in O (n),

dass

D := P^{T} A P

Diagonalgestalt hat, so folgt

A^{T} = {(P D P^{T})}^{T} = {(P^{T})}^{T} D^{T} P^{T} = P D P^{T} = A

.
Eine orthogonal diagonalisierbare Matrix ist also symmetrisch
(es gilt sogar auch die Umkehrung).
Aber nicht jede diagonalisierbare reelle

n \times n

-Matrix ist symmetrisch...

Randolph Esser aktiv_icon

03:09 Uhr, 26.10.2026

Ich hänge eine andere Frage an.
Ich habe in einem Film ein Poster mit einem Fraktal gesehen,
siehe Anhang.
Es scheint ein Apfelmann-Fraktal zu sein.
Kennt jemand die Koordinaten (so

π

mal Daumen),
wo man im Apfelmann diese Struktur findet ?

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