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Lineare Ausgleichsrechnung (mit Normalengleichung)

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lineares Ausgleichsproblem, Normalengleichung, Numerik

4397850216 aktiv_icon

21:34 Uhr, 27.10.2014

Hallo!

Ich brauche Hilfe bei der Lösung eines linearen Ausgleichproblems mithilfe von der Normalengleichung.

Es sind einige Koordinaten gegeben

(z . B

. Messwerte) und ich möchte eine Gerade und eine Parabel berechnen, die einen möglichst kleinen Abstand zu den Punkten haben.

Es soll nachher auf ein überbestimmtes Gleichungssystem Ax=b hinauslaufen, was mit der Normalengleichung gelöst werden kann.

Leider habe ich nicht verstanden, wie das geht. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Nun zur Aufgabe (ein konstruiertes Beispiel) :

Gegeben sind die Messwerte

(- 1 / - 2), (0 / 1), (2 / 2)

und

(3 / 1)

.

Zunächst muss ich ja daraus das überbestimmte LGS bilden. Das habe ich auch versucht (wenn es falsch ist, dann sagt mir es bitte!) :

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Für die Gerade gilt f(x)=mx+b.
Also folgt daraus :

m \cdot (- 1) + b = - 2

m \cdot 0 + b = 1

m \cdot 2 + b = 2

m \cdot 3 + b = 1

also folgendes LGS :

(\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} m \\ b \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

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Für die Parabel gilt : f(x)=ax²+bx+c
Also folgt daraus :

a \cdot {(- 1)}^{2} + b \cdot (- 1) + c = - 2

a \cdot {(0)}^{2} + b \cdot 0 + c = 1

a \cdot {(2)}^{2} + b \cdot 2 + c = 2

a \cdot {(3)}^{2} + b \cdot 3 + c = 1

also folgendes LGS :

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

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So, und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Wie geht´s jetzt weiter?

Viele Grüße und Danke im Vorraus,

4397850216

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

4397850216 aktiv_icon

08:55 Uhr, 28.10.2014

So, ich hab's jetzt doch selber rausgefunden.

Normalengleichung :

A^{*} \cdot A \cdot x = A^{*} \cdot b

A^{*} \cdot A = (\begin{array}{rcl} - 1 & 0 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} - 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 14 & 4 \\ 4 & 4 \end{array})

A^{*} \cdot b = (\begin{array}{rcl} - 1 & 0 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}) * (\begin{array}{rcl} - 2 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 9 \\ 2 \end{array})

Jetzt bleibt noch ein normales LGS übrig.

14m + 4b = 9
4m + 4b = 2

Lösung z.B. mit Gauß-Verfahren -> m =

\frac{41}{70}

b =

\frac{1}{5}

Die Gerade lautet also :

f (x) = \frac{41}{70} x + \frac{1}{5}

Die Parabel lässt sich dann analog berechnen.

anonymous

18:09 Uhr, 03.02.2017

Du hast dich verrechnet, es gilt:

m = \frac{7}{10}

und

b = - \frac{1}{5}

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