Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lineare Gleichung mit 4 Variablen

Lineare Gleichung mit 4 Variablen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Lineare Gleichung

qwe11 aktiv_icon

15:34 Uhr, 20.10.2009

Folgendes LGS muss ich lösen:

a + b + c + d = 10

2 a - 5 b + 2 c - 4 d = - 3

- 5 a + b - 2 c = 4

6 a - 3 c + d = 12

Wie geh ich an so eine Aufgabe ran?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungen - Einführung
Lineare Gleichungen - Fortgeschritten

DerLaborant aktiv_icon

18:40 Uhr, 20.10.2009

Ich würde dir empfehlen es mittels Gauß-Algorithmus zu lösen. Schau dich bisschen im Netz zu dem Thema um und stell dann konkrete Fragen zu deinen Rechnungen.

qwe11 aktiv_icon

22:35 Uhr, 21.10.2009

Ich habs mir mal angeguckt im Internet, werd jedoch nicht wirklich schlau daraus.

Es muss doch noch eine andere Variante geben bzw ein System.
Da ich übermorgen eine Klausur schreibe und morgen noch so vieles anderes lernen muss, hab ich keine Zeit die Gauß-Methode selber zu erlernen.

Bei 3 Gleichungen weiß ich das ich eine benutz um bei den anderen eine Variable zu eleminieren.

Aber wie geh ich bei 4 vor?

pleindespoir aktiv_icon

02:07 Uhr, 22.10.2009

Wenn Du es nicht selber lernst, sondern ein anderer - soll der für dich die Klausur schreiben?

Der Gauss wird auch später noch sehr häufig gebraucht - nicht nur morgen!

Wenn Dir Gauss nicht gefällt - es geht auch mit Determinanten. Das ist aber etwas umständlicher und du wirst es noch weniger können.

Die anderen "kleinen" Eliminationsverfahren (Einsetzung, Gleichsetzung, Addition) sind für diese Aufgabe nicht geeignet. Es bleibt also nicht viel ...

qwe11 aktiv_icon

16:57 Uhr, 22.10.2009

Auch wenn es aufwendiger ist, wüsste ich gerne die Lösung mit Additions/Subtraktions-verfahren.

Ich hab keine Zeit mehr die Gauß Methode zu lernen

pleindespoir aktiv_icon

21:36 Uhr, 22.10.2009

Zitat:"Wie geh ich an so eine Aufgabe ran?"

- Egal was mir jemand sagt, ich will es so machen wie ich es will!

"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

- Nein, ich will keine Vorschläge, wie ich es selbst verstehen könnte, ich will dass ein andrer es für mich so macht, wie ich es gerne hätte, und wenn es noch so umständlich ist. Ich habe ja schliesslich keine Zeit noch was dazuzulernen !

derste87 aktiv_icon

22:08 Uhr, 22.10.2009

Naja, Gauss ist eigentlich nicht mal so schwer - eher einfach nur aufwändig und man muss es einfach genau machen, da beim Rechnen gerne Fehler passieren.

Ich würde dir folgendes empfehlen:
Schau dir die vier Gleichungen an und schreibe diese als Matrix hin (ist etwas übersichtlicher zum Rechnen).

Du hast 4 Unbekannte und 4 Gleichungen, also wird deine Matrix 4 Zeilen und 4 Spalten enthalten. Nun stellt der Faktor, der vor jeder Unbekannten in den Gleichungen steht, ein Element in der Matrix dar.

Deine 4 Gleichungen kannst du nämlich auch so schreiben:

1 a + 1 b + 1 c + 1 d = 10

2 a - 5 b + 2 c - 4 d = - 3

- 5 a + 1 b - 2 c + 0 d = 4

6 a + 0 b - 3 c + 1 d = 12

Dann sieht die Matrix so aus:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 5 & 2 & - 4 \\ - 5 & 1 & - 2 & 0 \\ 6 & 0 & 3 & 1 \end{matrix})

Nun musst du versuchen, durch "geschicktes Addieren bzw. Subtrahieren" der ersten Zeile mit den restlichen Zeilen, immer eine Unbekannte aus jeder Zeile "rauszuspicken", sodass du am Schluss, in der letzten Matrix-Zeile möglichst nur noch eine Unbekannte drin hast und der Rest 0 ist.

Als Beispiel hier mal der erste Schritt:
Schau dir die 2. Zeile an. Du musst versuchen, die Zahl aus der ersten Spalte (hier die

2)

auf 0 zu bekommen.
Dies machst du, indem du die erste Zeile mit zwei multiplizierst und dann elementweise von der zweiten Zeile abziehst. Konkret:
1. Zeile mit 2 multipliziert:

2 \cdot (1, 1, 1, 1) = (2, 2, 2, 2)

Nun subtrahierst du dies von der zweiten Zeile - also:

(2 - 2, - 5 - 2, 2 - 2, - 4 - 2)

und erhältst dann neu in der zweiten Zeile:

(0, - 7, 0, 6)

Die Matrix schaut also nun so aus:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 7 & 0 & 6 \\ - 5 & 1 & - 2 & 0 \\ 6 & 0 & 3 & 1 \end{matrix})

Nun machst du das auch für die 3. und 4. Zeile.

Die Matrix sollte am Ende ungefähr so aussehen:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 7 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & x & y \\ 0 & 0 & 0 & z \end{matrix})

Wobei du

x, y

und

z

durch das obige Verfahren erhältst.

Dann kannst du die Matrix mit den rechten Werten deiner Gleichungen "gleichsetzen":

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & - 7 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & x & y \\ 0 & 0 & 0 & z \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ - 3 \\ 4 \\ 12 \end{matrix})

Und nun musst du nur noch bequem von unten her die Gleichungen auflösen.
Die erste SPalte in der Matrix entspricht ja deiner Unbekannten

a,

die zweite Spalte der Unbekannten

b,

etc.

Um nun

z . B

d

zu berechnen stellst du folgendes Gleichungssystem auf:

z \cdot d = 12 \Rightarrow

nach

d

auflösen

\Rightarrow d = \frac{12}{z}

Dann gehst du eine Zeile höher und setzt dort den Wert, den du für

d

erhalten hast ein:

x \cdot c + y \cdot d = 4 \Rightarrow

wiederum nach

c

auflösen

\Rightarrow c = \frac{4 - y \cdot d}{x}

Und so gehst du immer eine Zeile höher, bis du am Ende alle Variablen hast.

So, der Post ist zwar nun etwas lange geworden, aber ich hoffe, du kannst so ungefähr nachvollziehen, wie die Gauss-Elimination funktioniert.

P . S

. Für die Mathematiker hier - sorry, falls ich manchmal nicht ganz richtige Begriffe verwendet habe, habe einfach versucht, es so verständlich wie möglich zu erklären. Verbesserungen gerne gesehen :-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

664205

662585

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?