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Lineare Hülle

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

absolut85 aktiv_icon

10:19 Uhr, 03.05.2011

Hallo nocheinmal,

ich habe gerade ein mir nicht lösbares Beispiel zur linearen Hülle. Ich schreib das mal rein und hoffe, dass jemand zumindest sagen kann wie ich das angehe.

Bestimmen Sie die lineare Hülle von

a)

1 + x ², 1 - x ²

1, 1 + x, (1 + x) ², (1 + x) ³, (1 + x)^{4}

im Vektorraum P4 aller Polynome vom Grad kleinergleich

\leq

4

Danke

Sina86

12:56 Uhr, 03.05.2011

Hi,

schau dir die Definitionen an:
lineare Hülle:
Sei V ein

K

-Vektorraum (das

K

steht bei euch wahrscheinlich immer für

ℝ

und

ℂ

) und

v_{1}, . . ., v_{k} \in V

eine Menge von Vektoren. Dann ist die lineare Hülle definiert als:

s p a n (v_{1}, . . ., v_{k}) := {\sum_{i = 1}^{k} α_{i} v_{i} ∣ α_{i} \in K, i = 1, . . ., k}

sprich: die lineare Hülle ist die Menge aller möglichen Linearkombinationen. Und jetzt musst du das auf deinen konkreten Fall (z.B. a) ) übertragen:
1.) Was ist

V

? (steht da)
2.) Was ist

K

? (das geht aus der Aufgabenstellung nicht hervor, wird aber wahrscheinlich

ℝ

sein, da du Polynome mit REELLEN Koeffizienten hast)
3.) Was ist

k

? (steht da)
4.) Was sind

v_{1}, . . ., v_{k}

(steht da)
und schließlich
5.) alle Informationen zusammensetzen und die Menge

s p a n (v_{1}, . . ., v_{k})

bestimmen.

Gruß
Sina

absolut85 aktiv_icon

13:27 Uhr, 03.05.2011

Hallo, danke für deine Antwort, aber ich steh total daneben.

1.) ist meine Menge von Vektoren bei a:

λ_{1} (1 + x ²) + λ_{2} (1 - x ²)

?

2.) K=R

3.)

k = 2

?

4.)

1 + x ², 1 - x ²

?

Danke

Sina86

13:35 Uhr, 03.05.2011

Nun, alles bis auf 1.) ist richtig. Bei 1.) wurde nach dem Vektorraum gefragt, aus dem die Vektoren -die du in 4.) aufschreibst- stammen. Bei 1.) hast du nun schon fast die Menge

s p a n (v_{1}, v_{2})

hingeschrieben...

absolut85 aktiv_icon

13:41 Uhr, 03.05.2011

In der angabe steht

P_{4}

, ist das jetzt richtig? und wie fasse ich nun alle zusammen? :(
danke

Sina86

13:49 Uhr, 03.05.2011

Genau

V = P_{4}

. Die Lösung hast du eigentlich schon in 1.) formuliert, bis auf dass du nicht angegeben hast, was

λ_{1}, λ_{2}

sind und es nicht formal korrekt in eine Summe geschrieben hast (schau dir dafür noch mal die Summe oben in der Definition an).

Und die meisten stehen dann noch darauf, wenn man das ganze ein bisschen ausrechnet und z.B. in diesem Fall, das ganze wieder in Polynomform bringt (obwohl das streng nach Aufgabenstellung gar nicht nötig ist). Damit meine ich:

λ_{1} \cdot (1 - x^{2}) + λ_{2} \cdot (1 + x^{2}) = λ_{1} - λ_{1} \cdot x^{2} + λ_{2} + λ_{2} \cdot x^{2} = (λ_{1} + λ_{2}) + (λ_{1} - λ_{2}) x^{2}

absolut85 aktiv_icon

14:02 Uhr, 03.05.2011

Besten Dank, und das ist dann meine lineare Hülle?

ich habe eine Lösung bekommen, bei der dann noch weiter gerechnet wurde, wie folgt:

x ² + (λ_{1} - λ_{2}) + (λ_{1} + λ_{2}) \in ℝ

a x ² + b ∣ a, b \in ℝ

a = λ_{1} - λ_{2}

b = λ_{1} + λ_{2}

und dann wird

λ_{1},_{2}

ausgedrückt

bei der aufgabe b) habe ich eine 5x5 matrix gesehen, weiß jedoch nicht ob diese stimmt

danke nochmals

Sina86

15:15 Uhr, 03.05.2011

Ok, zunächst mal zu der anderen Lösung von

a)

. In der ersten Zeile sollte hinter dem

x^{2}

kein Plus stehen. Was meinst du mit

λ_{1, 2}

"ausgedrückt"? Für mich macht es keinen Sinn noch irgendetwas mit

a + b x^{2}

zu rechnen, hat für die Lösung an sich erst einmal qualitativ keinen Mehrwert. Ich würde erst mal sagen, schreib deine eigene Lösung so auf, wie du denkst, dass es richtig ist (komplett, mit Mengenklammern und allen!!!), dann kann ich dir da weiter helfen ;-)

Bei der Lösung zu

b)

... Matrix? Warum sollte da irgendetwas mit einer Matrix rauskommen??? Für die lineare Hülle gilt immer

s p a n (v_{1}, . . ., v_{k}) \subseteq V

, und da

V

in deinem Fall

P_{4}

ist und somit aus Polynomen besteht, ist auch der

s p a n (v_{1}, . . ., v_{k})

eine Menge, die aus Polynomen besteht. Eine Matrix hingegen ist erst einmal nichts als zwei Klammern mit irgendwelchen Zahlen drin und ohne einen Kontext absolut wertlos und mit Sicherheit nicht die Lösung für

b)

.

Wo kommen denn diese "Lösungen" her? Von Kommilitonen? Da ist zur Vorsicht geraten ;-)

absolut85 aktiv_icon

15:52 Uhr, 03.05.2011

Grundsätzlich denke ich, habe ich es kapiert und bedanke mich für deine Hilfe ;-)

Ja die anderen Lösungen werd ich mal vernichten.

Danke

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