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Lineare Optimierung Textbeispiel

Universität / Fachhochschule

Tags: Nebenbedingung, Textaufgabe

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09:11 Uhr, 23.02.2019

Als Portfoliomanager der Regionalbank Free Cash wird Ihnen ein neuer Kunde zugeteilt. Dieser verfügt über ein Budget von CHF 6 Mio., welches Sie für ein Jahr gewinnbringend investieren sollen. Um das Portfolio übersichtlich zu halten, stehen Ihnen genau zwei Fonds als Investitionsmöglichkeiten zur Verfügung:

(A)

Aktien und

(B)

Obligationen. Die folgende Tabelle zeigt die erwartete jährliche Rendite dieser zwei Anlagemöglichkeiten:
AB Erwartete Rendite Aktien

4 %

Obligationen

2 %

Das Ziel ist es, eine Investition im Rahmen des verfügbaren Budgets zu ermitteln, so dass der gesamte erwartete jährliche Gewinn maximiert wird. Dabei sollen die folgenden Randbedingungen berücksichtigt werden:
1. Das zur Verfügung stehende Budget soll nicht überschritten werden.
2. Gemäss Vorschrift der Bank muss mindestens

\frac{1}{6}

des zur Verfügung stehenden Budgets

(d . h

. unabhängig davon, welcher Betrag investiert wird) in Aktien investiert werden.
3. Damit das Portfolio keinem zu grossen Risiko ausgesetzt ist, soll mindestens

\frac{1}{4}

des investierten Budgets in Obligationen investiert werden.
4. Damit sich der Verwaltungsaufwand überhaupt lohnt, soll mindestens ein Betrag von CHF 2 Mio. investiert werden.
Für den nicht investierten Teil des Budgets beträgt die erwartete Rendite

0 %

a)

Formulieren Sie dieses Planungsproblem als ein lineares Optimierungsproblem. Verwenden Sie für die Formulierung die folgenden Entscheidungsvariablen:
∗ xA: Investition in Aktien

(\in

CHF Mio.)
∗ xB: Investition in Obligationen

(\in

CHF Mio.)

b)

Stellen Sie den zulässigen Bereich des in

a)

formulierten Optimierungsproblems grafisch dar. Kennzeichnen Sie alle Ecken des zulässigen Bereichs und bestimmen Sie (durch Hin- sehen) deren Koordinaten.

c)

Ermitteln Sie analog zum Vorgehen in der Vorlesung eine optimale Lösung des in

a)

formulierten Optimierungsproblems. Beginnen Sie das Simplex-Verfahren in der Ecke (xA,xB)

= (1, 5)

. Dokumentieren Sie den Rechenweg neben der Abbildung aus

b)

d)

Wie hoch ist in der in

c)

ermittelten Lösung der gesamte erwartete ja ̈hrliche Gewinn?

e)

Hinsichtlich welcher Randbedingungen besteht in der in

c)

ermittelten Lösung noch Spielraum? Begründen Sie kurz ohne Berechnungen.

Meine Überlegung:

Zielfunktion:

0.04

+ 0.02

- \to

Max

NB1: xA

+

= 6

Mio.
NB 2: xA

> 1

Mio.
NB 3: xB

> \frac{1}{4} C

NB 4: xA

+

> 2

Mio.

Sind diese Nebenbedingungen richtig? Wie kann ich nun weiter Vorgehen?

Vielen Dank für eure Hilfe!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Enano

11:06 Uhr, 23.02.2019

"NB1: xA

+

= 6

Mio."

Es steht in der Aufgabe nicht, dass das Budget nicht unterschritten werden darf, also:

x_{A} + x_{B} \leq 6

"NB 2: xA

> 1

Mio."

Mindestens

\frac{1}{6}

des Budgets bedeutet, es dürften auch 6 Mio.

\cdot \frac{1}{6} = 1

Mio. sein, also:

x_{A} \geq 1

"NB 3: xB

> \frac{1}{4}

C"

Warum schreibst du nicht, wie bei NB

2,

das Ergebnis der Rechnung hin oder war dein TR damit überfordert? ;-)
Mindestens

\frac{1}{4}

des Budgets bedeutet, es dürften auch 6 Mio.

\cdot \frac{1}{4} = 1,5

Mio. sein, also:

x_{B} \geq 1,5

"NB 4: xA

+

> 2

Mio."

Mindestens ein Betrag von CHF 2 Mio. bedeutet:

x_{A} + x_{B} \geq 2

"Wie kann ich nun weiter Vorgehen?"

Nachdem

a)

erledigt ist würde ich gem. der Aufgabenstellung mit

b)

weiter machen,

d . h

. das Problem grafisch darstellen. Wo genau hast du da Schwierigkeiten?

"Ermitteln Sie analog zum Vorgehen in der Vorlesung... "

Weil ich nicht in dieser Vorlesung war, weiß ich nicht, wie ihr da vorgegangen seid.
Schildere doch mal deine Erinnerungen daran.

hasii11 aktiv_icon

11:14 Uhr, 23.02.2019

Hallo Vielen Dank für Deine Rückmeldung!

Bei der NB 3 bin ich mir immer noch nicht ganz sicher weil es steht:

"Damit das Portfolio keinem zu grossen Risiko ausgesetzt ist, soll mindestens

\frac{1}{4}

des investierten Budgets in Obligationen investiert werden". Die Betonung auf "investierten Budgets"

Die 6 Mio. sind aber das zur Verfügung stehende Budget. Meiner Meinung nach können maximal 6 Mio. oder auch weniger investiert werden. Oder sehe ich das falsch?

Vielen Dank für deine Rückmeldung!

Enano

11:45 Uhr, 23.02.2019

"Oder sehe ich das falsch?"

Nein, gem. den Formulierungen zu 2. und 3. in der Aufgabe, hast du grundsätzlich recht.
Aber bei dieser Aufgabe ist doch offensichtlich, dass zwecks Gewinnmaximierung (des Investors und der Bank ;-)) das ganze zur Verfügung stehende Budget investiert werden muss, denn Aktien bringen

4 %,

Obligationen

2 %

und nicht investiertes Kapital

0 %

.
Wenn dem nicht so wäre, hättest du doch bei

b)

Probleme, die Eckpunkte eindeutig zu bestimmen.

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