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Lineare (Un-)Abhängigkeit (Vektor mit Unbekannten)

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

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15:44 Uhr, 20.08.2010

Hallo Zusammen

Ich beschäftige mich gerade mit linearer (Un-)Abhängigkeit.
Die Frage zu folgender Aufgabe lautet:
Für welche Werte von a mit a Element von

R

sind die Vektoren linear abhängig?

die Vektoren sind

(0; 1; 0), (a^{2} - 1; 0; 1)

und

(0; 1; a)

wie geh ich an so eine Aufgabe hin ?

wenn es das a nicht gäbe wär

s

ja leicht - man könnte nach den einzelnen multiplikatoren auflösen und das solang bis man die gleichung nur noch in abhängigkeit eines faktors hat - nur wenn das a auch noch drinnen ist versteh ich es nicht mehr...

Vielen Dank für Hilfe

Jakob

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:17 Uhr, 20.08.2010

Ich persönlich schreibe mir entsprechende Vektoren als die Spalten einer Matrix und schaue ob ihre Determinante ungleich 0 ist.

also schaust du für welche

a

\det (\begin{array}{rcl} a^{2} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a \end{array}) = 0

gilt.

Und das müsste für

a = 0, 1, - 1

der Fall sein.
Für diese

a

wären die Spalten und damit die Vektoren lin. abh., für alle anderen lin. unabh.

LG

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16:26 Uhr, 20.08.2010

...also geht es nur darum wann der wer für sich genommen 0 wird und gar nicht darum, ein lineares gleichungssystem aufzustellen und dann mit den koeffizienten herumzujonglieren ?

wie ging das mit den determinanten nochmal ?

In einer Lösung die ich dazu gesehen habe, wird es mit einer Fallunterscheidung gemacht, aber ich seh nicht so ganz woher die die Zahlen +-1 für den 1. und 0 für den 2.Fall haben ohne zu raten?

da steht außerdem k1(koeffizient#1) v k2 v k3 Element von R\{0}...

heißt das, dass keiner der 3 Koeffizienten 0 werden darf oder dass nur einer 0 werden darf ? oder, dass 2 null werden dürfen aber der dritte nicht?

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16:41 Uhr, 20.08.2010

Doch, im Prinziop geht es dabei auch um ein lineares Gleichungssystem aber eines der Form

A x = 0

Du kannst es auch auf dem "normalen" Weg machen und ihre linearkombination mit irgendwelchen koeffizienten 0 setzen.

Das mit den Determinanten ist ne Wissenschaft für sich, würde jetzt wohl den Rahmen sprengen, was man aber sagen kann ist, dass wenn diese 0 wird, du andere Linearkombinationskoeffizienten findest als alle =0, was der lin. unabh. widerspräche.
Wäre die Determinante immer ungleich 0, so sind die Spalten- und Zeilenvektoren lin. unahb.

Gerade getestet: mit den Koeffizienten geht es auch. Nun musst du dich nur für einen weg entscheiden ;-)

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16:46 Uhr, 20.08.2010

ok, also wenn du so eine aufgabe hast und sie mit dem linearen glecihungssystemverfahren machen willst - wie gehst du vor ?

wie gesagt, in einem lösungsweg den ich gesehen habe zu der aufgabe wird gleich zu beginn eine fallunterscheidung gemacht und gesagt, einmal die aufgabe für a Element von R\{+-1} und einmal für a Element {+-1}

...

Wie kommt man auf diese beiden Fälle ? Sieht man das sofort?

Jetzt mal die Katze aus dem Sack. Hier ist die Lösung zur Aufgabe (die ich aber nicht verstehe)

"(1) k2 x (a²-1) = 0

(2) k1 + k3 = 0

(3) k2 + k3 x a = 0"

soweit wär ich auch noch gekommen.

jetzt steht da aber:

"1.Fall: a Element von R\{+-1}

(1) -> k2 = 0

(2) -> k1 = -k3

(3) k3 x a = 0"

das versteh ich auch - vorrausgesetzt, dass man für a sagt dass es nicht +-1 sein darf sind diese Folgerungen logisch

jetzt steht da aber:

"Da k1 v k2 v k3 Element von R\{0} gilt, ergibt sich daraus a = 0 und mit der Setzung k=1 erhält man:

1x(0;1;0) + 0x(-1;0;1) + (-1) x (0;1;0) = (0;0;0)"

so und da tretten wieder ein paar Fragen meinerseits auf:

was bedeutet k1 v k2 v k3 Element von R{0} genau?

und woher kommt deren Idee einfach ne 1 da hinzusetzen ?

soweit sogut, wenn du mir das erklären kannst ist der 2.Fall warscheinlich nur nochmal das selbe

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16:52 Uhr, 20.08.2010

Hmm ok, also Gleichungssytem.
Wenn du das machst erhälst du die drei Gleichungen:

λ_{1} (a^{2} - 1) = 0

λ_{2} = - λ_{3}

und

λ_{1} = - a λ_{3}

also

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0

ist immer eine Lösung eines solchen Gleichungssystems, nü?

Wenn

a = 0

ist mit Gleichung 3

λ_{1} = 0

, die erste Gleichung ist erfüllt und bei der zweiten kannst du dann einsetzen was du willst, also

a = 0

folgt lin. abh.

Wenn a ungleich 0 und

λ_{1}

ungleich 0 muss dank der ersten Gleichung

a = 1, - 1

sein, was dann

λ_{1} = c \in ℝ

λ_{3} = - c / a

und

λ_{2} = c / a

zufolge hätte.
also für diese 3 Fälle gibt es eine von 0 0 0 verschiedene Lösung, was mit lin abh. gleichzusetzen ist.

dingshier aktiv_icon

20:32 Uhr, 20.08.2010

Prinzipiell kann man erstmal eines sagen. So wie die Musterlösung formuliert ist, musst da ja schon wissen was rauskommt bevor du rechnest. Also halt dich lieber an das Folgende, was du ja eigentlich schon verstanden hast.

Du hast 3 Vektoren

v_{1}, v_{2}, v_{3}

die genau dann linear unabhängig sind wenn

k_{1} v_{1} + k_{2} v_{2} + k_{3} v_{3} = 0

also diese Gleichung direkt zufolge hat, dass

k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0

so und nun nehmen wir

v_{1} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}), v_{2} = (\begin{array}{rcl} a^{2} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}), v_{3} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ a \end{array})

und stellen die Gleichung auf, die es zu untersuchen gilt:

k_{1} (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + k_{2} (\begin{array}{rcl} a^{2} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) + k_{3} (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ a \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

.

Dies schaut man sich komponentenweise an, Spaltet es also in 3 Gleichungen auf

k_{2} (a^{2} - 1) = 0

k_{1} + k_{3} = 0

k_{2} + a \cdot k_{3} = 0

Nun stellt sich die Frage: Wann ist dieses Gleichungssystem erfüllt?
Antwort 1: für

k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0

, das was immer geht, unabhängig von jeglichen

a

;-)

Antwort 2: Wann noch? (also nun ist mindestens ein

k_{i} \neq 0

) Dazu müssen wir uns die

a

ansehen. Also nun, wie kommt man auf diese

a

? Ganz einfach, die Gleichungen müssen alle erfüllt sein.
Gleichung 1 ist unabhängig von

k_{2}

erfüllt, wenn

a = 1, - 1

!. Damit schaust du jetzt in Gleichung 3 und findest, dass

k_{2} = \mp k_{3}

Gleichung 2 ist ja von den anderen beiden unabhängig, sie ist die einzige in der

k_{1}

vorkommt.

Also wenn

a = 1, - 1

kannst du meinetwegen für

k_{2}

irgendwas außer

0

wählen (mit 0 wären alle anderen k auch 0, siehe Antwort 1 nebenbei)
Deine Tutoren oder so setzen nun spaßenshalber

k_{2} = 1

, sie können auch 458776 nehmen oder irgendwas anderes außer 0.
Damit ist Gleichung 1 erüllt (wegen de a's) Gleichung 3 dann wenn

k_{3} = - \frac{1}{a}

und Gleichung 2 wenn

k_{1} = \frac{1}{a}

.
Lösung für

a = 1

k_{2} = 1, k_{3} = - 1, k_{1} = 1

Lösung für

a = - 1

k_{2} = 1, k_{3} = 1, k_{1} = - 1

Also sogar alle

k \neq 0

damit für

a = 1, - 1

folgt

v_{i}

lin abh!

Für

a = 0

funktioniert die Sache ähnlich. Aber da muss ich sagen muss man einen Blick für haben wenn man die Gleichungssystem Variante rechnet. Gleichung 3 suggeriert das eben, dass man das testen sollte. Und siehe da wieder eine von 0 0 0 verschiedene Lösung.

Diese beiden Antworten sind auch alle, für jede andere Wahl von

a

sind die Gleichungen 1 und 3 nicht gleichzeitig erfüllbar, es sei denn

k_{2} = 0

, was dann aber wieder

k_{1} = k_{3} = 0

zufolge hätte, was Antwort 1 entspricht.

Puuuhhh

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20:41 Uhr, 20.08.2010

Vielleicht um das mit der Determinante nochmal aufzugreifen, da der Weg für solche Aufgaben deutlich schneller geht.
Es gibt feste Formeln für die Det. von 2x2 und 3x3 Matrizen (Wiki).
Schreibst du dir die Vektoren in eine solche Matrix als Zeilen oder Spalten und rechnest die Det. aus, so erhälst du in deinem Beispiel ein Polynom in

a

, welches gerade die Nullstellen

1, - 1, 0

hat.

Wenn du es mal testen willst: Das Polynom lautet dann:

p (a) = (a^{2} - 1) \cdot a

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13:43 Uhr, 21.08.2010

hey, danke, cool dass du dir die Zeit genommen hast
das mit den determinanten probier ich gleich aus

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