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Lineare (Un)abhängigkeit, Erzeugendensystem,Basis
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Skalarprodukte
Vektorräume
Tags: Lineare Unabhängigkeit, Skalarprodukt, Vektorraum
 
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Hallo, ich habe Probleme mit dieser Aufgabe Betrachte den Vektorraum Sind die Teilmengen und linear unabhängig, ein Erzeugendensystem von eine Basis von V? Geben Sie drei linear abhängige Vektoren in an, von denen je zwei linear unabhängig sind. Geben Sie vier Vektoren in an, von denen je drei eine Basis bilden. Geben Sie die Basis der linearen Hülle an: Zu Hier habe ich, dass linear abhängig ist und linear unabhängig. Jetzt wollte ich die Lineare Hülle bestimmen, denn wenn zB dann erzeugt den Vektorraum V. Jetzt weiß ich nicht, wie ich die Hülle bestimmen kann. Kann ich die Eigenschaften, dass linear abhängig ist ausnutzen, ich kann einen Vektor mehrdeutig darstellen, wohingegen die Darstellung bei eindeutig ist? Gibt es eine Regel, dass zB linear unabhängige Teilmengen von Vektoren den ganzen Vektorrraum erzeugen? kann keine Basis von sein, da ja ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von sein müsste, als Basis kommt nur in frage. Aber wie können wir vorgehen? bei muss ich wohl einfach etwas rumprobieren. zu Ich habe versucht, linear unabhängige Vektoren in zu finden, sodass diese linear unabhängigen Vektoren die Basis bilden. Sowohl wenn ich eine Teilmenge aus betrachte als auch die ganze kriege ich aufgestellt als lineares Gleichungssystem nur Widersprüche, reicht das als Begründung dass alle Vektoren in linear unabhängig sind und somit alle Vektoren in die Basis sind? Oder sind die überlegungen komplett falsch? Liebe grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, Abhängigkeit in und sind richtig erkannt worden. Der Rest geht munter durcheinander: Eine Basis ist ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren. Damit kann keine Basis sein. könnte eine Basis sein. Jedes Erzeugendensystem kann durch geeignetes Entfernen von Vektoren zu einer Basis reduziert werden. Die Anzahl der Vektoren einer Basis bestimmen die Dimension der linearen Hülle. Damit ist die Dimension von kleiner als 3 und da die Dimension 3 hat, kann kein Erzeugendensystem sein. Da linear unabhängig ist, erzeugt es einen dreidimensionalen Unterraum von und da selbst die Dimension drei hat, ist und ist ein Erzeugendensystem von . Wegen der linearen Unabhängigkeit ist sogar eine Basis von . Nimm Dir eine Basis des (die einfachste oder die hier gegebene) und lasse einen der drei Vektoren weg. Füge stattdessen die Summe der beiden verbliebenen Vektoren hinzu, dann sind die 3 Vektoren linear abhängig aber jedes Paar von Vektoren ist linear unabhängig! Nimm Dir eine Basis des (die einfachste oder die hier gegebene) und füge die den Vektor dazu, der sich als Summe der drei Basisvektoren ergibt, dann sind die 4 Vektoren linear abhängig und jeweils drei Vektoren sind linear unabhängig! müssen 4 Vektoren immer linear abhängig sein, da sie sonst einen vierdimensionalen Unterraum des erzeugen würden. Das geht aber nicht! Löse das Gleichungssystem . finde eine Lösung): allgemein und finde damit eine Lösung, bei der nicht alle Werte sind. Lasse einen Vektor weg, dessen zugehöriger Koeffizient ungleich Null war (einen, nicht alle!) und löse das neue Gleichungssystem mit den drei verbliebenen Vektoren. Wenn es auch hier mehr als die triviale Lösung gibt, dann mache weiter. PS: Die lineare Hülle hat die Dimension Du wirst also am Ende 2 Vektoren erhalten. |
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Hallo, danke für deine hilfe. und sind ok, ich habe bei auch dieses Beispiel gefunden oder ist es falsch und ich habe mich vertan? zu ich verstehe warum keine Basis sein kann, sodass wir und noch darauf untersuchen müssen ob es Erzeugendensystem ist und zusätzlich ob es eine Basis von ist. Du benutzt die Dimension von der Teilmenge und bedeutet die Dimension einfach, dass es die Anzahl der Elemente in und sind, dh bei beiden 3? Das habe ich aus der Def. in unserem Skript rausgelesen, nur schreibst du danach dass die Dimension von absolut kleiner 3 ist, oder lese ich die Definition falsch? Wenn wir zB die Dim(S)=x haben, heißt es dann dass elemente in enthalten sind, die alle Vektoren sind, und wenn dann erzeugt den Vektorraum? Wir haben doch immer weniger Elemente als in V? Oder woran erkenne ich, mit welchen Teilmengen ich mir jeden beliebigen Vektor basteln kann? Bei und ist es ja offensichtlich. Lg  |
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Hallo, Die Dimension ist . in der Basis müssen am Ende 3 Vektoren stehen bleiben. Du hast also einen zu viel. Da musst Du Dich verrechnet haben! zu "bedeutet die Dimension einfach, dass es die Anzahl der Elemente in und sind, . bei beiden 3?" NEIN! ist linear unabhängig, also ist die Dimension gleich der Anzahl der Vektoren: 3. Aber ist linear abhängig und deshalb kann es zu einer Basis (eines Unterraumes, aber nicht von selbst!) reduziert werden. Reduziert heisst, dass mindestens ein Vektor weniger in der Basis enthalten ist und damit sind in der Basis maximal 2 Vektoren (vielleicht auch nur einer, ist an dieser Stelle egal) und damit ist die Dimension des von aufgespannten Unterraumes maximal 2 und somit kleiner als die von V. "Wenn wir zB die Dim(S)=x haben, heißt es dann dass elemente in enthalten sind, die alle Vektoren sind, und wenn dann erzeugt den Vektorraum?" Dim(S)=x würde ich nicht schreiben, sondern eher Dim(L(S))=x. Und das heisst dann, dass in JEDER Basis von genau Elemente sind (natürlich linear unabhängig, weil eine Basis). Und es gilt: Anzahl der Vektoren in . Ist eine Basis, gilt die Gleichheit, ist keine Basis die Größer-Beziehung. "Wir haben doch immer weniger Elemente als in V?" Ein Unterraum ist nicht notwendigerweise kleiner als der Vektorraum selbst, denn der Vektorraum ist selbst ein Unterraum von sich selbst. Denke einfach an die Mengen: Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst. Sie ist keine echte Teilmenge und so sagt man auch, dass kein echter Unterraum von ist, aber er ist ein Unterraum! Wenn Du mit einer Menge von Vektoren die 3 "natürlichen Basisvektoren" linear kombinieren kannst, dann erzeugen die Vektoren den selben Raum wie die 3 "natürlichen Basisvektoren". |
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zu Die Dimension habe ich jetzt verstanden, danke :-) Aber unterstellst du nun, dass sowohl und ein Erzeugendensystem sind ? Wie kommen wir darauf ob es ein Erzeugendensystem ist? Dass die Basisvektoren ganz erzeugen ist logisch. Heißt das, wir schauen uns allgemein die Dimension der linearen Hülle an, und wenn die Dimension von dann erzeugt ganz V? Wir betrachten gar nicht unbedingt die Vektoren, die in der Teilmenge enthalten sind? zu Dann nehme ich die Standardbasisvektoren=(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)} Jetzt waehle ich zwei aus: diese zwei sind linear unabhängig. Ok. jetzt die Summe ergänzen: Da es mehr als nur die Triviallsg gibt, um den Nullvektor zu "basteln", sind diese Vektoren dann linear abhängig. und linear unabhängig und linear unabhängig, da bei beiden nur die Triviallsg existiert. Korrekt? zu hier nehme ich dann die ganze menge von oben: diese sind linear unabhängig und bilden Basis, da ich damit jeden vektor in erzeugen kann. Summe ergänzen: Dass die ersten 3 Basisvektoren die Anforderung erfüllen verstehe ich, aber warum wenn wir zB und sowie betrachten? Ich verstehe nicht warum ich mit Hilfe von unter ausschluss einer der Basisvektoren ganz erzeugen kann, denn wir können ja nur beliebig vielfache von nehmen. ich habe das gleichungssystem aufgestellt, kriege aber nie eine Lösung. Ich habe es ganz normal nach dem Gausverfahren probiert, das einzige was ich bekomme ist zwar eine wahre Aussage aber bringt mich nicht so weiter. Mein Gleichungssystem: 1. 2. 3. Dass ich für die vier Vektoren dann keine Lösung bekomme, liegt dann daran dass wir sonst wie du geschrieben hast, einen vierdimensionalen Vektorraum erzeugen würden, was aber laut vorraussetzung nicht geht. Meinst du ich soll einfach das Gleichungssystem nochmal aufstellen, einmal ohne r(also den ersten Vektor nicht betrachten), ohne . usw und dann schauen, bis ich eine Lösung bekomme ? Also zb ausschließen: 1. 2. 3. Hier sehen wir dann einen Zusammenhang der Linearkombination der drei Vektoren, da wir im Gleichungssystem keine Widersprüche haben, diese 3 Vektoren könnten eine Basis sein? Denn wenn ich es richtig verstehe, erkenne ich lineare Unabhängigkeit dadurch dass wenn ich das Gleichungssystem aufstelle und widersprüche erhalte, zb . und (nur ein Beispiel). Lg |
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Hallo lies doch nochmal die Anleitung zu die geschrieben hat durch. deine rstu sind seine dass du keine Lösung findest ist eigenartig, es gibt mehr als eine sogar. wenn du eine Lösung findest ausser sind die Vektoren abhängig ! und du hast noch nicht dielender Hülle, die besteht aus der Maximalzahl linear unabh. Vektoren, wie schon sagte hier und es 2. ich denke du solltest die posts genauer , langsamer lesen und jeden Satz wirklich überlegen! Deine posts deuten nicht darauf hin, dass du das tust. Gruß ledum |
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Hallo, danke für eure Hilfe. Ich lese die Beschreibungen so gut ich kann und versuche es zu verstehen, es ist aber schwer für mich, ich studiere nicht Mathematik und verstehe es nicht so schnell wie die anderen. Ich habe bei nun versucht dass ganze über Matrizen zu lösen und habe und bekommen, was für mich auch Sinn macht da und linear unabhängig sind und auch geschrieben wurde, dass ich am Ende 2 Vektoren erhalte. Ich habe es mittels Zeilenstufenform gelöst und dann geschaut ob wo die Stufen beginnen. Habe ich es jetzt richtig verstanden? Lg |
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Hallo ein GS mit mehr als 2 Unbekannten sollte man immer in der Matrixform lösen. wenn nur 2 Zeilen , überbleiben die nicht nur 0 enthalten hast du 2 lin unabh. Vektoren. Gruß ledum |
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