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Lineare Unabhängigkeit prüfen

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

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15:35 Uhr, 28.01.2010

Ich hab 3 Vektoren aus

ℝ^{4}

in der Form

(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})

gegeben und soll bestimmen ob sie linear unabhängig sind.

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 5 \\ 4 \end{matrix})

Was ist der schnellste Weg um das zu lösen, steh grad mega auf dem Schlauch!

michaL aktiv_icon

15:57 Uhr, 28.01.2010

Hallo,

es gibt mehrere (teilweise) schnelle Wege. Der schnellste für dich ist der, den du sicher beherrschst. Kennst du überhaupt einen?

Mfg Michael

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16:00 Uhr, 28.01.2010

Ansich schon, aber irgendwie hängt es grad total.
Muss ja irgendwie über eine matrix machbar sein, aber steh grad echt super auf dem Schlauch.

michaL aktiv_icon

17:09 Uhr, 28.01.2010

Hallo,

ok, die schnellste Methode ist Hingucken, die aber nicht immer (so einfach) geht:
Hilfreich dafür sind Nullen.

Gedankengang ist: WENN man aus den ersten beiden Vektoren den letzten als Linearkombination darstellen KÖNNTE, dann müsste wegen der ersten Komponenten (dort ist die Komponente des zweiten Vektors Null, der zweite trägt also nichts bei) der erste Vektor verdreifacht werden.
Wegen der letzten Komponente (dort ist die Komponente des ersten Vektors Null) müsste der zweite Vektor ver-zweifacht werden (sorry wegen der Schreibweise).

Probe: 3x 1. Vektor -2x 2. Vektor = dritter Vektor: stimmt. Die drei Vektoren sind also linear abhängig.

Ok, mal eine Brot- und Buttermethode (also eine, die immer geht):

Fasse die drei Vektoren als eine 4x3-Matrix auf. Bestimme (mit dem Gauss-Algorithmus) ihren Rang. Wenn der NICHT drei ist (sondern dann weniger), dann sind die Vektoren linear anhängig.
Dabei ist es egal, ob du den Zeilen- oder den Spaltenrang bestimmst.

Wenn du aber schneller 4 verschiedene 3x3-Determinanten bestimmen kannst als den Rang einer 4x3-Matrix, kannst du JEWEILS eine Zeile der 4x3-Matrix streichen. Du erhältst so eine 3x3-Matrix.
Wenn die Determinanten sämtlicher so erhaltener 3x3-Matrizen Null sind, dann sind die drei Vektoren auch linear abhängig.

Mfg Michael

Astor aktiv_icon

17:15 Uhr, 28.01.2010

Hallo,
was haltet ihr von der Anwednung der Definition und dem Gaussschen Algorithmus?

Nach einem Rechenschritt weiß man bescheid.
Die Vektoren sind linear abhängig.

Gruß Astor

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17:17 Uhr, 28.01.2010

Hingucken als Methode klappt, das ist nicht das Problem, eher der Weg es rechnerisch zu zeigen.

Wie genau bestimme ich denn den Rang einer Matrix, hab das (glaub ich) noch nie gemacht.

@ Astor
könntest du das eventuell mal "zeigen"

michaL aktiv_icon

18:00 Uhr, 28.01.2010

Hallo,

@Michael: Halte ich viel von. Habe ich als immer funktionierende Methode deklariert. Ich bin dabei davon ausgegangen, dass der OP Abitur in D gemacht hat und das Gaussverfahren in der Schule gelernt hat.

@Sting: Ich habe dir mal einen Link dazu herausgesucht:
www.harri-deutsch.de/verlag/titel/gellrich/k01_1773.pdf

Auf Seite 128 (ist nur eine Probe von ca. 20 Seiten) unter dem Beispiel 2.45 findest du ein Beispiel, dass deiner Aufgabe relativ nahe kommt.
Allgemein wird das ganz auch in www.brinkmann-du.de/mathe/gost/1_gauss.htm erklärt. Keine Angst, ist nur Schulstoff.

Aber was mich anbelangt: Rechnen musst du schon selbst.

Mfg Michael

Sting aktiv_icon

18:33 Uhr, 28.01.2010

(\begin{matrix} 1 & 0 & 3 \\ 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 5 \\ 0 & - 2 & 4 \end{matrix})

Nun vertausche ich erstmal die Zeilen

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 5 \\ 1 & 0 & 3 \\ 0 & - 2 & 4 \end{matrix})

dann addiere ich Zeile 2 zu Zeile 3

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & - 5 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & - 2 & 4 \end{matrix})

dann addiere ich Zeile 1 zu Zeile 2

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & - 6 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & - 2 & 4 \end{matrix})

vertausche nochmal Zeile 3 und Zeile 2

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 2 & - 6 \\ 0 & - 2 & 4 \end{matrix})

dann addiere ich Zeile 3 zu Zeile 4

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 2 & - 6 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix})

dann multipliziere ich Zeile 2 mit 2 und zieh es von Zeile 3 ab

(\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & - 2 \end{matrix})

und erkenne dann (hoffentlich) das ich die ganze Zeit auf meinem Blatt nen Zahlendreher hatte und das hier das richtige Ergebniss ist. Da Zeile 3 und 4 identisch sind hab ich einen Matrizenrang von

2,

richtig?

michaL aktiv_icon

23:39 Uhr, 28.01.2010

Hallo,

die Vektoren in deinem ersten posting sind nicht die gleichen wie im letzten (dritter Vektor).

Aber: bis hierhin hast du (folge-)richtig gerechnet (soweit ich das eben richtig überflogen habe). Immerhin erhältst du (nur) eine Nullzeile (egal, was du noch unternimmst). Demnach sind die Vektoren im letzten posting linear UNabhängig.

Mfg Michael

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00:01 Uhr, 29.01.2010

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 5 \\ 4 \end{matrix})

II-I und III+1

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix})

bischen getauscht und addiert

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Nicht null Zeilen sind

1 + 2,

daher sind Spaltenvektor

1 + 2

Unabhängig.

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ - 2 \end{matrix}))

Jetzt MUSS es stimmen!

Verdammt, ich sollte nicht Mathe sondern Konzentration üben. Bin heute fast verzweifelt an solch einfachen Aufgaben obwohl ich sonst nicht ansatzweise Probleme damit habe.
Danke für die Hilfe!

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