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Lineare Unabhängigkeit von Polynomen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit, polynom

Einheitsmatrix aktiv_icon

10:34 Uhr, 24.03.2023

Hallo, ich hätte eine Frage zu einer Aufgabe in der die Lineare Unabhängigkeit von Funktionen/Vektoren abgefragt wird. Die Aufgabe:

Sei

V = Π_{2} (ℝ)

p : ℝ \to ℝ : p (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

mit

a_{0}, a_{1}, a_{2} \in ℝ

}. Gegeben sind die Vektoren

p_{0} (t) = 0

p_{1} (t) = 1 * t

p_{2} (t) = 2 * (t - 1)

und

p_{3} (t) = 3 * t^{2} \in ℝ

Prüfen Sie für die folgenden Tupel, ob sie linear unabhängig sind, ob sie ein Erzeugendensystem
von V bilden und ob sie eine Basis von V sind:
a)

(p_{1}, p_{2}, p_{3})

,
b)

(p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3})

,
c)

(p_{2}, p_{3})

.

Bei Vektoren weiß ich das sie linear Unabhängig sind, wenn nur dann ein Nullvektor rauskommt, wenn alle Lambda Null sind. Aber wie gehe ich vor. Ich nehme auch an etwas gegen Null zu setzen. Aber was genau? Und wenn es lineare Unabhängig ist, ist es dann nicht auch automatisch ein Erzeugendensystem und eine Basis von V?

Danke für die Hilfe,
LG Einheitsmatrix

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Punov aktiv_icon

12:00 Uhr, 24.03.2023

Hallo, Einheitsmatrix!

Ich nehme mal exemplarisch das Tripel

(p_{1}, p_{2}, p_{3})

. Um auf lineare Unabhängigkeit zu testen, setze

λ_{1} p_{1} (t) + λ_{2} (t) p_{2} (t) + λ_{3} p_{3} (t) = 3 λ_{3} t^{2} + (λ_{1} + 2 λ_{2}) t - 2 λ_{2} \equiv 0

.

Da alle Koeffizienten des Nullpolynoms verschwinden, gilt also

3 λ_{3} = 0

λ_{1} + 2 λ_{2} = 0

- 2 λ_{2} = 0

.

Löse das nach

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

. Wenn

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0

, liegt lineare Unabhängigkeit vor, andernfalls nicht.

Um zu überprüfen, ob das Tripel ein Erzeugendensystem ist, wähle ein beliebiges (!) Polynom

p \in Π_{2}

aus deinem Vektorraum

Π_{2}

und schaue, ob es als Linearkombination der Polynome des Tripels darstellbar ist, d.h. setze

p (t) = a_{2} t^{2} + a_{1} t + a_{0} = λ_{1} p_{1} (t) + λ_{2} p_{2} (t) + λ_{3} p_{3} (t)

mit noch unbekannten Koeffizienten

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

und löse nach diesen auf. Gibt es eine Lösung, ist das Tripel ein Erzeugendensystem, andernfalls nicht.

Ist das Tripel linear unabhängig UND ein Erzeugendensystem, ist es eine Basis.

Für die anderen Tupel kannst du analog vorgehen, wobei du auch auf die Anzahl der Elemente schauen solltest, denn der Vektorraum ist ja

3

-dimensional.

Viele Grüße

Einheitsmatrix aktiv_icon

15:37 Uhr, 24.03.2023

Hallo Punov,

danke für die Antwort. Warum fallen die t's denn einfach weg und warum dürfen wir das Polynom auseinander ziehen? Also es wäre ja dann:

3 λ_{3} = 0 \Rightarrow λ_{3} = 0

- 2 λ_{2} = 0 \Rightarrow λ_{2} = 0

λ_{2} = 0 \Rightarrow λ_{1} + 2 λ_{2} = 0 \Rightarrow λ_{1} = 0

Somit ist es ja linear Abhängig, aber müsste man das nicht als eine Gleichung betrachten und das alles = 0 setzen. Oder habe ich dich einfach falsch verstanden?

Wenn wir jetzt also auf ein Erzeugendensystem prüfen bei a) würde ja rauskommen, dass

p (t) = a_{2} t^{2} + a_{1} t + a_{0} = 3 λ_{3} t^{2} + (λ_{1} + 2 λ_{2}) t - 2 λ_{2}

, gilt da

(3 λ_{3}), (λ_{1} + 2 λ_{2}), (- 2 λ_{2}) \in ℝ

, oder?

Und damit ist es insgesamt eine Basis.

Und b und c würden automatisch rausfallen weil sie nicht aus dem

ℝ^{3}

sind? oder müsste man b noch untersuchen, bloß dann einen weglassen?

LG Einheitsmatrix

Punov aktiv_icon

15:53 Uhr, 24.03.2023

Hallo,

Du betrachtest eine beliebige Linearkombination von

p_{1}, p_{2}

und

p_{3}

und setzt sie gleich dem Nullpolynom

p (t) = 0

. Die Koeffizienten des Nullpolynoms sind allesamt

0

, also machst du einen Koeffizientenvergleich. Daraus ergeben sich dann die drei Gleichungen.

Wie du richtig argumentierst, folgt

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0

. Aber das bedeutet lineare Unabhängigkeit, nicht lineare Abhängigkeit.

Zu dem anderen Punkt: Die Idee ist es zu untersuchen, ob du ein beliebig gegebenes Polynom

p (t) = a t^{2} + b t + c \in Π_{2}

als Linearkombination von

p_{1}, p_{2}, p_{3}

darstellen kannst. Das heißt, die Frage ist, ob die Gleichung

p (t) = \sum_{i = 1}^{3} λ_{i} p_{i} (t)

eine Lösung

(λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) \in ℝ^{3}

hat, wobei du

a, b, c \in ℝ

als beliebig gegeben annimmst.

Du musst also wieder einen Koeffizientenvergleich machen und bekommst die Lösung

λ_{1} = b + c, λ_{2} = - \frac{c}{2}, λ_{3} = \frac{a}{3}

.

Somit ist

(p_{1}, p_{2}, p_{3})

linear unabhängig und ein Erzeugendensystem, also eine Basis von

V = Π_{2}

.

Bei den anderen beiden Teilaufgaben kann es sich jedenfalls nicht um eine Basis handeln, da der Vektorraum dreidimensional ist.

Viele Grüße

michaL aktiv_icon

16:03 Uhr, 24.03.2023

Hallo,

> Bei Vektoren weiß ich das sie linear Unabhängig sind, wenn nur dann ein Nullvektor rauskommt, wenn alle Lambda Null sind. Aber wie gehe ich vor.

Na, genauso. (Mir scheint, du hast noch nicht verstanden, was ein Vektor ist...)
Ok, man untersucht bei linearer Unabhängigkeit die Gleichung

λ p_{1} (t) + μ p_{2} (t) + ν p_{3} (t) \equiv 0

, d.h.

λ t + μ 2 (t - 1) + ν 3 t^{2} = 0 \forall t \in ℝ

.

Ich nehme mir mal lieber

λ t + μ 2 (t - 1) + ν 3 t^{2} = 0

.............(1)
her.

> Warum fallen die t's denn einfach weg und warum dürfen wir das Polynom auseinander ziehen?

Diese Gleichung erlaubt doch ein Zusammenfassen der einzelnen Potenzen von

t

, oder nicht?

Damit erhalten wir:

3 ν \cdot t^{2} + (2 μ + λ) \cdot t - 2 μ = 0

.......(2)

Wenn man nun weiß, dass

{1, t, t^{2}}

(aufgefasst als eine Menge von Polynomen) eine Basis des

Π_{2} (ℝ)

ist, dann ist diese Menge also insbesondere linear unabhängig.
Gleichung (2) ist aber von der Form

π \cdot t^{2} + ρ \cdot t + σ = 0

, ergo müssen doch die Koeffizienten (in (2) also

3 ν

2 μ + λ

und

- 2 μ

) sämtlich gleich Null sein, oder nicht?

Daraus ergibt sich dann das Gleichungssystem:

0 = 3 ν

0 = 2 μ + λ

0 = - 2 μ

Die

t

fallen also nicht einfach so weg. Es steckt schon ein wenig mehr dahinter.

Wie das untere LGS schnell verrät, ist

{p_{1}, p_{2}, p_{3}}

linear unabhängig.
Dann ist aber auch jede Teilmenge (außer der leeren) davon linear unabhängig, was c) gleich mit erledigt.

b) muss man gar nicht so lange untersuchen, da der Nullvektor Teil der Menge ist, die auf lineare Unabhängigkeit untersucht werden soll. Wegen

λ \cdot p_{0} (t) = 0

für alle

λ, t \in ℝ

(man schreibt da auch gerne

λ \cdot p_{0} (t)

), ist die Menge auf jeden Fall linear anhängig.
Alternativ könnte man auch mit Dimensionsgründen kommen. Wenn man

\dim (Π_{2} (ℝ)) = 3

schon weiß, dann müssen vier Vektoren aus diesem Vektorraum notwendigerweise linear abhängig sein.

> Und wenn es lineare Unabhängig ist, ist es dann nicht auch automatisch ein Erzeugendensystem und eine Basis von V?

Nicht unbedingt. Eine Basis ist eine maximal linear unabhängige Teilmenge.
In c) hast du eine linear unabhängige Menge, aber keine maximal linear unabhängige Menge, wie wiederum a) zeigt.
Daher ist die Menge in c) zwar linear unabhängig, aber eben keine Basis von

Π_{2} (ℝ)

.

Mfg Michael

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