Lineare unabhängig, gleichungssystem nicht lösbar

Hallo!

Es soll überprüft werden ob folgende Mengen Linear unabhängig ist:

${\displaystyle \left\{\right(\begin{array}{c}1\\ \begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\end{array}),(\begin{array}{c}1\\ \begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\end{array}),(\begin{array}{c}1\\ \begin{array}{c}0\\ 4\end{array}\end{array}\left)\right\}}$

eigentlich nicht schwer, die vektoren sind kein vielfaches voneinander. Nur was mich verwirrt ich könnte dies alles ja auch über ein Gleichungssystem zeigen. Nur das ist nicht lösbar was hat das zu bedeuten?

lg

@Dimitri

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0 \\ \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:0=0 \\ \mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{I<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:2{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+2{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{4\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=0} \end{gathered}$$

kann ich nicht lösen oder? 3 Unbekannte aber nur 2 Gleichungen

@dapso

l.u. sind sie ja nur wenn alle landa=0 und es sonst keine lösung gibt also, dass zum Beispiel irgendein landa nicht gleich 5 ist.

ich glaub es wäre keine schlechte idee, die gleichung mal auf eine lineare kombination hin zu überprüfen. wenn ich das für einen vektor gezeigt habe, dass er eine lineare kombi der anderen ist, ist das Sytem nicht merh l.u. oder?

okay, habs noch mal durchgerechnet.

v1 kann als linear kombination von v2 und v3 dargestellt werden. also ist das ganze linear abhängig.

eine kleine frage habe ich noch hat zwar jetzt net wirklich was mit dem Beispiel zu tun, aber was wäre wenn ich das ganze in ${\displaystyle {\left({\mathbb{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_5\right)}^3}$ berechnen muss. sehe ich das ganze dann einfach als modulo rechnung? l.u. darf die menge ja dann auch nur sein wenn nur für alle landa =0 der rest 0 ist oder?

EDIT: gauß ich habe zwar schon von ihm gehört doch leider noch nicht gelernt/weiß nicht wie man ihn anwendet.

aber generell stimmt das jetzt schon wie ich es gemacht habe und das system in l.a.?

okay, was würdest du noch zusätzlich zeigen außer das zum Beispiel v1 eine lineare kombination aus v2 und v3 ist?

okay danke an alle! das sollte es gewesen sein =)