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Lineares Gleichungssystem (LGS) Unbekannte (alpha)

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Matrizenrechnung

Tags: Angewandte Lineare Algebra, keine/genau eine/unendlich viele Lösungen, Lineares Gleichungssystem, Matrizenrechnung, unbekannt

liberte1234 aktiv_icon

15:38 Uhr, 30.01.2014

Hallo ihr lieben!
Ich schreibe euch erstmal die Aufgabenstellung:

Für welche Werte α

E R

besitzt das lineare Gleichungssystem

2_{x 1} +_{x 2} = 1

4_{x 1} + α_{x 2} + x 3 = 2

6_{x 1} + 3_{x 2} + 3 (α - 2) {(α - 3)}_{x 3} = 3 (α - 1)

keine, genau eine bzw. unendlich viele Lösungen? Geben Sie, soweit das Gleichungssystem lösbar ist, sämtliche Lösungen an.

Ich bin völlig überfordert mit der Aufgabe und im Internet finde ich nichts darüber.
Ich erwarte, natürlich keine komplette Antwort, aber wenigstens ein Hinweis, ein Tip? Lösungsvorschläge? Irgendetwas.. nur bitte helft mir!

Liebe grüße, Mary!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

prodomo aktiv_icon

16:07 Uhr, 30.01.2014

Gleichungen mit Parametern ( hier das

a)

werden nicht anders gelöst als "normale". Welche Verfahren kennst du dazu ?

liberte1234 aktiv_icon

16:27 Uhr, 30.01.2014

Kenne das Gauss-Jordan-Algorithmus und Cramer'sche Regel.
Mich verwirrt die Stelle "

3 (α - 2) {(α - 3)}_{x 3} = 3 (α - 1)

"
soll die Stelle ausmultplizieren? aber dann kommt da eine quadratische Funktion...

: (

prodomo aktiv_icon

16:32 Uhr, 30.01.2014

^Berechne die Determinante der Matrix wie sonst auch und sieh nach, ob sie den Wert 0 haben kann und für welche Werte von a das passiert (ich tippe auf 2 und

3)

liberte1234 aktiv_icon

16:59 Uhr, 30.01.2014

ich versteh es irgendwie nicht. wie soll ich denn das berechnen, wenn ich "

3 (α - 2) {(α - 3)}_{x 3} = 3 (α - 1)

" habe anscheinend eine blockade.. vor allem wie kommst du auf 2 und 3? wegen

(α - 2) (α - 3)

prodomo aktiv_icon

17:07 Uhr, 30.01.2014

Ja. Diese Klammern sind verdächtig. Für die Determinante ergibt sich

| \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & a & 1 \\ 6 & 3 & 3 \cdot (a^{2} - 5 + a + 6) \end{matrix} | = 6 \cdot a \cdot (a^{2} - 5 \cdot a + 6) + 6 - 6 - 12 \cdot (a^{2} - 5 \cdot a + 6) = (6 \cdot a - 12) \cdot (a^{2} - 5 \cdot a + 6)

. Dieser Term wird für

a = 2

und

a = 3

zu 0.

liberte1234 aktiv_icon

17:17 Uhr, 30.01.2014

oh, ich hatte mich ständig verrechnet !
bedeutet, wenn

α = 2

gibt es keine lösungen?

prodomo aktiv_icon

17:26 Uhr, 30.01.2014

Nicht ganz so voreilig. Es könnte auch unendlich viele Lösungen geben. Das kommt darauf an, was die Determinante ergibt, wenn du statt der ersten Spalte den Ergebnisvektor einsetzt, dann ebenso weiter.

liberte1234 aktiv_icon

17:38 Uhr, 30.01.2014

also, hab es mit

α = 2

berechnet und es kommt überall 0(null) heraus.
aber

α = 3

da kommt bei

det (A) = 0; det (A_{1}) = 3; det (A_{2}) = - 6; det (A_{3}) = 6

prodomo aktiv_icon

17:41 Uhr, 30.01.2014

Du hast den Gauss-Jordan-Algorithmus erwähnt, dann solltest du auch die Vereinfachung der Matrix kennen,

z . B

. das Dreifache der ersten Zeile von der letzten abziehen, das beschleunigt die Lösung.
Ich muss jetzt andere Aufgaben (Essenszeit) erledigen. Schreibe eine mail, wenn du nicht weiter kommst und niemand sonst helfen kann.

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