Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Linearkombination von Vektoren,komplanare Vektoren

Linearkombination von Vektoren,komplanare Vektoren

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Linearkombinationen von, Vektoren

Ninoo aktiv_icon

09:52 Uhr, 16.10.2009

Hallo alle zusammen! Ich brauche ganz dringend eure Hilfe! Ich komme mit der einen Aufgabe über Linearkombination von Vektoren nicht klar:(

Also: Stellen Sie den Vektor

x

als Linearkombination der Vektoren

(2,0,1), (1,1,1)

und

(0,1, - 1)

dar.

Gegeben:

x (5,0,4)

x (1,2,0)

x (0,0,0)

Bisher haben wir immer nur mit zwei Vektoren gerechnet, daher weiß ich jetzt nicht, wie ich mit den drei vektoren rechnen muss:/

Danke im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Astor aktiv_icon

10:31 Uhr, 16.10.2009

Hallo,
du musst nur das Verfahren auf drei Vektoren übertragen.

Also: du setzt den Vektor x einer bel Linerakombination der drei Vektoren gleich. Dann erhältst du ein Gleichungssystem von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Gruß Astor

Enrico aktiv_icon

10:38 Uhr, 16.10.2009

Hallo Ninoo,

das Prinzip ist immer das selbe.
Bei zwei Vektoren hast du 2 Parameter

(z . B α

und

β)

bestimmen müssen.
Bei drei Vektoren musst du 3 Parameter

(z . B α, β

und

γ)

bestimmen.

Es läuft also hinaus zu einem System von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.

Beispiel:

(\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = α \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) + β \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + γ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})

Die obige Gleichung kann als ein System von 3 Gleichungen in 3 Unbekannten geschrieben werden:

5 = 2 α + β

0 = β + γ

4 = α + β - γ

Kannst du damit was anfangen?

LG Enrico

##########################

EDIT: ich überlasse gerne dem Astor die Aufgabe, entschuldige wenn ich dazwischen gefunkt habe.

Ninoo aktiv_icon

10:50 Uhr, 16.10.2009

Ah, dachte ichs mir doch^^, ich hatte gerade auch angefangen 3 gleichungen aufzustellen, war mir aber nicht ganz sicher^^ vielen dank für die schnellen antworten:-)

Ich habe soweit:

(5,0,4) = r . (2,0,1) + s . (1,1,1) + t . (0,1, - 1)

ist es richtig soweit? ich werde die koordinaten natürlich noch mit

r, s

und

t

multiplizieren, ich hoffe, dass ich auf dem richtigen weg bin^^

Ninoo aktiv_icon

10:53 Uhr, 16.10.2009

und noch eine frage^^, muss ich das ganze dann für alle drei "x" machen? gegeben sind ja drei^^

Enrico aktiv_icon

11:21 Uhr, 16.10.2009

Ja, bist auf dem richtigen Weg! Versuche nun dann zu lösen.
Frag nach wenn du auf Schwierigkeiten triffst.

LG Enrico

P . S . :

ja, Du sollst das für alle 3 Vektoren

(\vec{x})

machen ;-)

Ninoo aktiv_icon

11:22 Uhr, 16.10.2009

super! danke, werde ich machen :-D)

Enrico aktiv_icon

11:29 Uhr, 16.10.2009

Ein Tipp am Rande:

Wenn du dann mal Werte für

r, s

und

t

gefunden hast, kannst du nachprüfen ob sie richtig sind indem Du diese dann in die Gleichung einsetzt und ausrechnest. Nach dem Ausmultiplizieren und Summieren muss am Ende der jeweilige Vektor stehen bleiben.

Viel Erfolg!

Ninoo aktiv_icon

11:35 Uhr, 16.10.2009

ich bin jetzt soweit gekommen:

1.

5 = 2 r + s

0 = s + t

4 = r + 2 s - t

(1 . - 3 .)

dazu habe ich die die 3. Gleichung mit 2 multipliziert.

3 = s - 2 \frac{t}{+} 2 t

3 + 2 t = s

(4

. Gleichung in die 1. einsetzen)

5 = 2 r + 3 + 2 \frac{t}{- 3}

2 = 2 r + 2 \frac{t}{- 2} r

2 - 2 r = 2 \frac{t}{:} 2

- 2 r = t

jetzt muss ich noch

r

rauskriegen, aber kann man das so rechnen, oder ist es falsch?

\frac{:}{}

Enrico aktiv_icon

12:06 Uhr, 16.10.2009

Hallo Ninoo

Du machst gleich am Anfang einen Rechenfehler bei abziehen der 3. Gleichung (mal

2)

von der 1. Gleichung und ziehst den Fehler durch die ganze Rechnung.

Ich gebe Dir einen Tipp:

Aus der 2. Gleichung folgt doch:

0 = s + t \Rightarrow s = - t

Setze jetzt mal diese Erkenntnis in die 3. Gleichung ein. Was passiert?

Ninoo aktiv_icon

12:06 Uhr, 16.10.2009

irgendwie kriege ich die aufgabe nicht hin

: (,

könntet ihr mir die aufgabe vielleicht vorrechnen? das wäre wirklich nett!

Ninoo aktiv_icon

12:08 Uhr, 16.10.2009

4 = r - 3 t

\frac{:}{}

Enrico aktiv_icon

12:12 Uhr, 16.10.2009

Ja!

r = 4

Nun den Wert in die 1.Gleichung und Du bekommst

s

raus.
Danach

s

Wert in die zweite und Du bekommst

t

raus.

Tattaradaaaa ;-)

Enrico aktiv_icon

12:13 Uhr, 16.10.2009

Du hast oben die 3. Gleichung falsch aufgeschrieben.

Sie muss lauten:

4 = r + s - t

Ninoo aktiv_icon

12:15 Uhr, 16.10.2009

ah, jetzt verstehe ich es :-) dankesehr!!!!

Ninoo aktiv_icon

13:20 Uhr, 16.10.2009

ich habe es jetzt berechnet, aber irgendwie kam bei mir raus, dass es keine linearkombination ist, obwohl meine aufgabe ja lautet: "Stellen Sie den Vektor

x

als Linearkombination dar

...,

habe ich falsch gerechnet, oder muss

x

in diesem fall keine linearkombination sein?

Enrico aktiv_icon

13:30 Uhr, 16.10.2009

Was hast Du denn für Werte für r,s und t bekommen?

Ninoo aktiv_icon

13:32 Uhr, 16.10.2009

r = 4

s = - 3

t = 3

Enrico aktiv_icon

13:39 Uhr, 16.10.2009

Richtig!

Also kann der Vektor

\vec{x} = (5,0,4)

doch geschrieben werden als Linearkombination der 3 Vektoren

\vec{u}, \vec{v}

und

\vec{p}

\vec{u} = (2,0,1)

\vec{v} = (1,1,1)

\vec{p} = (0,1, - 1)

\Rightarrow \vec{x} = 4 \cdot \vec{u} - 3 \cdot \vec{v} + 3 \cdot \vec{p}

Ninoo aktiv_icon

13:45 Uhr, 16.10.2009

achso, okay^^ vielen dank!!!

660316

660233

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?