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Linksinverse, Rechtsinverse, Umkehrabbildung

Universität / Fachhochschule

Tags: Abbildung, injektiv, linksinvers, Rechtsinvers, surjektiv, umkehrabbildung

Lui030 aktiv_icon

20:36 Uhr, 13.11.2021

Man finde eine Linksinverse, Rechtsinverse, oder Umkehrabbildung folgender Abbildungen und man begründe die nicht Existenz sonst.

3. Sei

M \neq \emptyset

und

f : M \overset{}{\to} 2^{M}

gegeben durch

f (m) = {m}

, wobei

2^{M} = {A : A \subseteq M}

die Potenzmenge der Menge

M

ist.

Ich weiß nicht mal wie ich jetzt herausfinden soll ob das ganze ding surjektiv/injektiv ist. Würde mich sehr über jede Hilfe freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:31 Uhr, 13.11.2021

Nun, wenn z.B.

M = {1, 2}

ist, liegt dann die Menge

M

selbst im Bild von

f

?

Dass

f

injektiv ist, ist trivial, denn

m_{1} \neq m_{2}

{m_{1}} \neq {m_{2}}

Lui030 aktiv_icon

21:43 Uhr, 13.11.2021

Okay ich bin jetzt soweit gekommen:

Eine Abbildung kann nur surjektiv sein, wenn der Wertebereich und der Definitionsbereich die selbe Kardinalität haben. Damit ist diese Abbildung nur surjektiv, wenn gilt:

∣ M ∣ = 2^{∣ M ∣}

Da eine Menge keine negative kardinalität haben kann, gilt:

2^{∣ M ∣} > ∣ M ∣ \Rightarrow ∣ M ∣ \neq 2^{∣ M ∣}

Damit ist die Abbildung nicht surjektiv.

Eine Abbildung ist injektiv, wenn gilt

f (m) = f (y)

f (m) = f (y) \Rightarrow {m} = {y} \Rightarrow m = y

Damit ist die Abbildung injektiv.

Diese Abbildung ist injektiv, aber nicht surjektiv. Die Umkehrabbildung und die Rechtsinverse können nicht bestimmt werden. Um die Umkehrabbildung zu bestimmen, müsste die Abbildung bijektiv sein. Um die Rechtsinverse zu bestimmen, müsste die Abbildung surjektiv sein. Die Linksinverse kann bestimmt werden, da die Abbildung injektiv ist:

g \circ f = i d_{M}

i d_{M} : M \overset{}{\to} M, f (m) = m

g : 2^{M} \overset{}{\to} M, g (m) = ?

Also wie müsste ich

g

bestimmen, damit

g ({m}) = m

ist?

DrBoogie aktiv_icon

21:46 Uhr, 13.11.2021

"Also wie müsste ich g bestimmen, damit g({m})=m ist?"

Na, ganz einfach:

g ({m}) = m

per Definition. Und auf anderen Mengen egal wie. Z.B.

g (X) = \emptyset

, wenn

X

mehr als 1 Element enthält.

Lui030 aktiv_icon

21:50 Uhr, 13.11.2021

Dann ist die Linksinverse einfach

g : 2^{M} \overset{}{\to} M, g (m) = m

oder? :-D)

DrBoogie aktiv_icon

21:53 Uhr, 13.11.2021

Nein, zuerst mal

g ({m})

und nicht

g (m)

, denn

m

liegt nicht in

2^{M}

.
Und dann musst du

g

auf allen Mengen definieren, nicht nur auf einelementigen.

Lui030 aktiv_icon

21:58 Uhr, 13.11.2021

Warum liegt

g ({m})

auf

2^{M}

?! Und für die Linksinverse muss ich doch einfach den Wertebereich und den Definitionsbereich der Ursprungsfunktion tauschen oder?

DrBoogie aktiv_icon

22:02 Uhr, 13.11.2021

Jetzt bist du durcheinander,

{M}

ist was ganz Anderes.
Es war

{m}

, also eine Menge aus einem Element.

g

ist von

2^{M}

nach

M

, also bildet Mengen auf Elemente ab.
Daher muss jedes Argument von

g

eine Menge sein, kein Element. Also ist

g (m)

nicht möglich.

Es wird nicht einfach Werte und Definitionsbereich vertauscht bei der Linksinversen, kuck die Definition genauer an.

Lui030 aktiv_icon

22:07 Uhr, 13.11.2021

Okay 1000 dank dir!!! ich brauche erstmal eine Pause und gucke mir das in ein paar Stunden nochmal mit neuer Energie an :-)

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