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Lipschitz-stetigkeit

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Lipschitzstetigkeit

8mileproof aktiv_icon

00:31 Uhr, 01.02.2012

hallo, ich hab folgende aufgabe versucht zu lösen:

Betrachten sie die funktion

f =

arctan(x)

a)

ist

f

lipschitz-stetig

b)

ist

f

gleichmäßig-stetig

zu

a)

hier habe ich die definiton des mittwertsatzes genommen.

| f (x) - f (y) | \leq | f^{1} (ψ) \cdot | x - y |

so ich weiß, dass die ableitung von arctan(x)

= > f^{1} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

ist. ich muss jetzt nur noch zeigen, dass sie beschränkt ist. dazu habe ich abgeschätzt.

1 + x^{2} \geq 1

also gilt doch:

\frac{1}{1 + x^{2}} \leq 1

. also ist doch die ableitung nach oben durch 1 beschränkt.

d . h

. dass die lipschitzkonstante

L = 1

ist.

zu

b)

ich weiß, dass jede lipschitz-stetige funktion gleichmäßig-stetig ist. steht jedenfalls so in meinem mathebuch. also folgt aus

a)

auch

b)

hab ich alles richtig gemacht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:36 Uhr, 01.02.2012

Hallo,

ist alles richtig.

Gruß pwm

8mileproof aktiv_icon

12:47 Uhr, 01.02.2012

danke dir. wow. das ist echt ne sensation. ich poste meine eigene lösung und die ist richtig!!

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