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Lipschitzkonstante in zwei Variablen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Lipschitzkonstante, Mehrdimensional, zwei variablen

Nelio aktiv_icon

15:31 Uhr, 26.06.2017

Guten Tag, ich weiß nicht ganz wie ich eine Lipschitzkonstante für eine Funktion mit zwei Variablen finde.

Bsp.:

a)

Im ersten Teil der Aufgabe war die Extremstelle der Funktion

p (x, y) = {(x + y)}^{3} - 12 x y

gesucht. Hier findet man bei

(x_{0}, y_{0}) = (1, 1)

eine Minimalstelle vor.

p (x_{0}, y_{0}) = - 4

Weiters war das quadratische Taylorpolynom anzuschreiben.
Aber dann kommt die Stelle an der ich mich nicht wirklich auskenne:

b)

Leiten Sie für obiges Polynom

p (x, y),

eingeshränkt auf den Definitionsbereich

(x, y) \in [- 1, 1] \times [- 1, 1],

eine Lipschitzkonstante her.

Ich kann mir natürlich die partiellen Ableitungen ansehen und erkenne dass diese für

x = \pm 1

und

y = \pm (- 1)

maximal werden in meinem Intervall

\frac{\partial p}{\partial x} = 3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 12 y = 24

\frac{\partial p}{\partial y} = 3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 12 x = 24

Das würde bedeuten, dass meine Lipschitzkonstante

L = 24

ist.

Außerdem könnte ich mir die quadratische Ableitung ansehen und erkenne dann dass ich ein Maximum der Änderung bei

x = - y

habe.

Alles schön und gut, aber wie mache ich das anständig?
Standartformel ist ja sowas in der Art:

| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) | \leq L | (x_{1}, y_{1}) - (x_{2}, y_{2}) |

Aber was nehme ich für diese

(x_{i}, y_{i})

Terme? Sprich wie führe ich das explizit aus?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Nelio aktiv_icon

22:15 Uhr, 26.06.2017

Weiß keiner was dazu?

DrBoogie aktiv_icon

22:33 Uhr, 26.06.2017

" Sprich wie führe ich das explizit aus?"

Musst Du gar nicht. Lipschitz-Abschätzung kommt direkt aus dem Mittelwertsatz.
Also wenn die Ableitung beschränkt ist, ist die Abbildung Lipschitz-stetig.
Ob von einer Variable oder von Tausend - völlig egal. Der Mittelwertsatz gilt auch mehrdimensional:
http//www.mathepedia.de/Mittelwertsaetze.aspx

Nelio aktiv_icon

11:03 Uhr, 28.06.2017

Den Mittelwertsatz kenne ich, Zumindest habe ich ihn gelesen. Ich tu mir immer sehr schwer die Theorie dann anzuwenden. Viel leichter lerne ich Regeln anhand von Beispielen.

In meinem Fall ist die Ableitung ja

\frac{\partial p}{\partial (x, y)} = (\begin{matrix} 3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 12 y \\ 3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 12 x \end{matrix})

Diese ist ja offensichtlich im Intervall stetig und beschränkt. Nur muss ich das ja auch formal anschreiben und eben eine Lipschitzkonstante angeben.

Der Mittelwertsatz für mehrerer Variablen lautet ja (Wikipedia):

f (\vec{x_{2}}) - f (\vec{x_{1}}) = \nabla f (\vec{x_{0}}) (\vec{x_{2}} - \vec{x_{1}})

Oder auch (Mathepedia):

f (x + h)

−

f (x) = f

′

(x + θ h) h

Könntest du vielleicht anschreiben wie man sich jetzt die Lipschitzkonstante ausdrückt?

DrBoogie aktiv_icon

11:14 Uhr, 28.06.2017

Es gibt nicht "die Lipschitzkonstante", sondern viele davon.
Und wenn nicht gefragt wird, dass man die kleinste davon angeben soll, würde ich keine unnötige Arbeit machen und großzügig abschätzen.

Aus dem "Wikipedia-Mittelwertsatz"
folgt

∣ f (\vec{x_{2}}) - f (\vec{x_{1}}) ∣ \leq ∥ \nabla f (\vec{x_{0}}) ∥ \cdot ∥ \vec{x_{2}} - \vec{x_{1}} ∥

mit

\vec{x_{0}}

aus

[- 1, 1] \times [- 1, 1]

,
es reicht also das Maximum von

∥ \nabla f (\vec{x_{0}}) ∥

auf

[- 1, 1] \times [- 1, 1]

zu bestimmen, oder noch einfacher, es von oben abzuschätzen, wenn wir nicht unbedingt die kleinste Lipschitzkonstante brauchen.
Es ist z.B. klar, dass

∥ \nabla f (\vec{x_{0}}) ∥ < 100

für alle

\vec{x_{0}} \in [- 1, 1] \times [- 1, 1]

gilt.

Nelio aktiv_icon

11:41 Uhr, 28.06.2017

Danke

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