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Ln Komplexer Zahl in Polardarstellung?

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Polardarstellung, Polarkoordinaten

mac-user09 aktiv_icon

11:27 Uhr, 17.11.2012

Hallo,

ich habe eine Komplexe Zahl der Form

c_{1} = ln

(a+bi)

Diese soll in Polarkoordinaten dargestellt werden, wozu ich erst den Betrag von

c_{1}

ausrechnen muss und dann mit tan(Im/Re) den Winkel bekomme.

Bei einfachen Zahlen, ist das Problem nicht da, jedoch wie berechne ich den Betrag von

ln

(a+bi)?

Ich kann ja nicht einfach

\sqrt{{ln (a)}^{2} + {ln (b)}^{2}}

machen. Ich kann hier nicht mal den Re und Im-Teil unterscheiden...:-(

Könnt ihr mir helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

11:40 Uhr, 17.11.2012

\ln z = \ln \sqrt{(I m (z))^{2} + (R e (z))^{2}} + i \cdot \arctan \frac{I m (z)}{R e (z)}

mac-user09 aktiv_icon

12:07 Uhr, 17.11.2012

Das Problem ist ja, dass die Komplexe Zahl selbst den Ln enthält und ich nicht den

ln

einer komplexen Zahl nehmen soll.
Ich muss also den Betrag von ln(a+bi) bestimmen.

Bringt mir da die Formel etwas? Da ist ja

ln

von komplexer Zahl gleich

ln

komplex.

pleindespoir aktiv_icon

20:09 Uhr, 17.11.2012

c_{1} = l n (a + b i)

"

Diese Gleichung besagt nichts weiter, dass die komplexe Zahl links des Gleichheitszeichens diejenige ist, die dem natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl im Argument des ln rechts des Gleichheitszeichens entspricht.

Folglich muss man den ln der rechts im Argument stehenden komplexen Zahl bilden.

Gar nicht so komplex die Aufgabe ...

mac-user09 aktiv_icon

09:51 Uhr, 18.11.2012

Danke für die Antwort.

Das heißt, dass meine komplexe Zahl so auszieht:

ln (\sqrt{a^{2} + b^{2}}) + i

arctan(b/a)

Ist dass dann schon die Polardarstellung?

Ich dachte, dass wäre definiert als |Zahl|

\cdot

(cos(phi)+isin(phi))

Oder muss ich ich das noch machen? Wenn, dann wäre das ja:

\sqrt{{(ln (\sqrt{a^{2} + b^{2}}))}^{2} +}

(arctan(b/a))^(2))

\cdot (cos

(arctan(ln(sqrt(a^(2)+b^(2)))/(arctan(b/a))

+

isin (arctan(ln(sqrt(a^(2)+b^(2)))/(arctan(b/a)))

pleindespoir aktiv_icon

14:25 Uhr, 18.11.2012

C = l n (a + b i)

argument im ln in Polarform bringen

C = l n (\sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot e^{i \cdot a r c t a n (\frac{b}{a})})

Logarithmusgesetz anwenden

C = l n (\sqrt{a^{2} + b^{2}}) + l n (e^{i \cdot a r c t a n (\frac{b}{a})})

Ln umd e-funktion heben sich auf, da sie Umkehrfunktionen zueinander sind

C = l n (\sqrt{a^{2} + b^{2}}) + i \cdot a r c t a n (\frac{b}{a})

Das wäre jetzt die cartesische Darstellung von C

Kann man in Eulersche bringen, wenn man zuviel Zeit hat:

C = \sqrt{{(l n \sqrt{a^{2} + b^{2}})}^{2} + {(a r c t a n (\frac{b}{a}))}^{2}} \cdot e^{i (\frac{a r c t a n (\frac{b}{a})}{{(l n \sqrt{a^{2} + b^{2}})}^{2}})}

mac-user09 aktiv_icon

15:48 Uhr, 18.11.2012

Jau, verstanden. Danke sehr.

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