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Ln ableiten inkl Exponent

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Tags: Sonstig

PaKa19 aktiv_icon

20:56 Uhr, 19.08.2017

Gesucht: 1 Ableitung der Funktion

y = {ln (x)}^{10 - 6 \sqrt{x}}

an der Stelle

x = 2

Ansatz:

ln (x) = \frac{1}{x}

Exponent mit Hilfe der Kettenregel ableiten??? Versteh es leider gar nicht. Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

21:02 Uhr, 19.08.2017

Zwei Möglichkeiten:

1)

Logarithmiere die Angabe beidseits und leite dann implizit auf beiden Seiten nach

x

2)

Benutze für die rechte Seite

a^{b} = e^{b \cdot ln (a)}

und leite das dann ab

PaKa19 aktiv_icon

21:10 Uhr, 19.08.2017

Mathe ist schon länger her bei mir.

6 \cdot \sqrt{x} \cdot ln (x) = 10

6 \cdot \sqrt{x} = 10 \cdot (\frac{1}{ln (x)})

6 \cdot x^{\frac{1}{2}} = 10 \cdot (\frac{1}{ln (x)})

6 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{- \frac{1}{2}} = 10 \cdot (\frac{1}{\frac{1}{x}})

3 \cdot x^{- \frac{1}{2}} = 10 \cdot x

x = 2

3 \cdot 2^{- 0,5} = 10 \cdot 2

2,121 - 20 = 17,87

= falsch

Roman-22

23:11 Uhr, 19.08.2017

>

6⋅x⋅ln(x)=10
Was machst du da???
Sollte das mein erster Vorschlag werden?

es geht um

y = {[ln (x)]}^{10 - 6 \cdot \sqrt{x}} | ln (...)

ln (y) = (10 - 6 \cdot \sqrt{x}) \cdot ln (ln (x)) | \frac{d}{d x} (...)

\frac{1}{y} \cdot y' = ... .

.

und rechts jetzt die Produktregel und für den letzten Faktor natürlich die Kettenregel anwenden.
Dann die Gleichung beidseits mit

y

multiplizieren um

y'

allein zu erhalten. Dabei kannst du rechts anstelle von

y

gleich wieder den Angabeterm einsetzen.
Das wird ein recht unangenehmer Ausdruck für die Ableitung und da setzt du jetzt dann noch für

x

den Wert 2 ein. Ich erhalte

y' (2) \approx 1,073

. Aber das Ergebnis scheinst du ja ohnedies zu kennen.

Wenns dir leichter nach Vorschlag 2 fällt:

y = {[ln (x)]}^{10 - 6 \cdot \sqrt{x}} = e^{(10 - 6 \cdot \sqrt{x}) \cdot ln (ln (x))}

und jetzt dann mehrfach die Kettenregel anwenden. Angenehmer wirds natürlich so auch nicht.

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09:11 Uhr, 20.08.2017

Ich lese das anders:

l n x^{10 - 6 \sqrt{x}} = (10 - 6 \sqrt{x}) \cdot l n x

Das lässt sich bequem mit der Produktregel ableiten.

Roman-22

11:17 Uhr, 20.08.2017

>

Ich lese das anders:

> {ln x}^{10 - 6 x} = . .

.

So darf man das aber nicht lesen, denn so hatte es der Fragesteller nicht geschrieben - er hatte eine Argumentklammer gesetzt um das

x

. Damit ist der Exponent zur ln-Funktion gehörig und nicht zu dessen Argument!

Es ist ein großer Unterschied, ob du

{f (x)}^{5}

schreibst, oder

f (x^{5})

.
Bei Funktionen, bei denen man die Funktionsklammer bei Monomargumenten weglassen kann (welche das sind, ist in einer Norm geregelt) gilt (jetzt am Beispiel

ln)

{ln x}^{a} = ln (x^{a})

und

{ln}^{a} x = {ln (x)}^{a}

. Es ist in keinem Fall nötig, aufwändig

{[ln (x)]}^{a}

zu schreiben, auch wenn man das natürlich machen kann um zu verhindern, dass

{ln (x)}^{a}

so wie von dir falsch interpretiert wird!

Es mag ja sein, dass sich der Fragesteller geirrt hat und den Logarithmus einer Potenz gemeint hat, angeschrieben hat er aber jedenfalls die Potenz eines Logarithmus.
Ich vermute allerdings, dass er die Klammersetzung bewusst so gewählt hat oder von der Angabe übernommen hat.
Mal sehen - PaKa19 kann das ja leicht klären.

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11:41 Uhr, 20.08.2017

Vielen Dank, Roman, für die Erklärung. Diese Schreibweise kannte ich so nicht.
Ich kenne nur

{ln}^{a} (x) = {(ln x)}^{a} = {(ln (x))}^{a}

bzw.

{ln x}^{a}

Es ist deswegen verwirrend, weil gilt:

ln x = ln (x)

. Ich hoffe, du verstehst nun mein Missverständnis. :-)

anonymous

07:05 Uhr, 21.08.2017

Nur zur Unterstützung:
Ich gebe zu, ich habe keine Ahnung, was vielleicht in irgend welchen Normen steht.
Ich beobachte aber sehr wohl, dass das, was in irgend welchen Normen steht, sehr häufig missachtet und ignoriert wird.
Zwei gängige, nur zu häufig diskutierte Beispiele:

a)

In der Norm steht arcsin(x),
auf den Taschenrechnern steht nur zu gängig:

{sin}^{- 1} (x)

b)

Die Norm sagt lg(x) für den dekadischen Logarithmus,
auf den Taschenrechnern steht

log (x),

missachtend, dass das Norm-gemäß eigentlich ein allgemeiner Logarithmus ist, dessen Basis ggf. zu erklären ist.

Lange Rede, kurzer Sinn:
Es mag genormt sein. Ich bin aber überzeugt, es gilt, was der Schreiber meint.
Und aus der Schreibweise

y = {ln (x)}^{10 - 6 \cdot \sqrt{x}}

wage ich dringend zu ahnen,

>

dass viele Schreiber gemeint haben könnten

y = {(ln (x))}^{10 - 6 \cdot \sqrt{x}}

>

dass eine andere Vielzahl an Schreibern gemeint haben könnten

y = ln (x^{10 - 6 \cdot \sqrt{x}})

>

kurz und gut, dass das missverstanden werden kann.

Nix für ungut, Roman, du hast ja vermutlich absolut Recht, dass das vielleicht genormt sein könnte, und dass deine Interpretation vielleicht die Norm-gerechte ist.
Ich habe hier nur eingegriffen, weil du es so darstellst, als ob das unmissverständlich und eindeutig wäre. Zahllose Beispiele, gerade auch hier in onlinemathe, zeigen aber, dass zahllose Schreiber immer wieder ähnliche Schreibweisen nutzen und sich auf beiderlei Weisen missverständlich geben und missverstanden werden.
Ein weiteres Beispiel, für die sich hier ungezähle Beispiele fänden:

{sin (x)}^{2}

eindeutig wäre

sin (x^{2})

oder eben

{(sin x)}^{2} = {sin}^{2} (x)

Tatsache ist, dass dieser Ausdruck - auch hier in onlinemathe - schon oft auf beiderlei Weisen missverstanden wurde.

Zusammenfassend:
Nochmals nichts für ungut, du hast vermutlich auf deine Weise Recht.
Dennoch halte ich es für gefährlich, das als unmissverständlich zu bezeichnen.
Unmissverständlich wird es am ehesten, indem man Klammern eindeutig nutzt, so wie in den Beispielen

sin (x^{2})

{(sin x)}^{2} = {sin}^{2} (x)

y = {(ln (x))}^{10 - 6 \cdot \sqrt{x}}

y = ln (x^{10 - 6 \cdot \sqrt{x}})

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