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Lösbarkeit linearer Gleichungssystem

Universität / Fachhochschule

Tags: Gleichungssystem, Matritzen, Spann

Nielogi aktiv_icon

11:15 Uhr, 29.04.2025

Und zwar hab ich Probleme mit folgender Aufgabe: Es seien

m, n

∈N,

a (1),

. . .

, a (m)

∈Rn und

b

∈Rn. Zeigen Sie, dass

b

∈Spann(a(1), . . .

, a (m))

⇔ Spann(a(1), . . .

, a (m)) =

Spann(a(1), . . .

, a (m), b)

.
Wie gehe ich da vor und wie beweise ich dies? Ich habe einen Ansatz, aber ich weiß auch nicht, ob dieser in gewisser Art und Weiße richtig ist.
Schonmal danke im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

12:58 Uhr, 29.04.2025

Hallo,

> Wie gehe ich da vor und wie beweise ich dies?

Technische Antwort: Eine Äquivalenz beweist man, indem man (darf auch gerne unabhängig voneinander sein) die beiden Implikationen "

\Rightarrow

" und "

\Leftarrow

" beweist.
Bei einer Mengengleichheit "

=

" (ist für "

\Rightarrow

" interessant) unterteilt man dies in die beiden Inklusionen "

\subseteq

" und "

\supseteq

". (Auch die darf man getrennt voneinander abarbeiten.)

Inhaltliche Antwort: "

\Leftarrow

" ist ziemlich trivial, wenn man bedenkt, dass

A \subseteq Spann (A)

gilt.
Dann folgt doch:

\underline{b} \overset{(1)}{\in} {{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}, \underline{b}} \overset{(2)}{\subseteq} Spann ({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}, \underline{b}}) \overset{(3)}{=} Spann ({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}})

(1) klar, ein Element einer Menge ist eben Element einer Menge.
(2) benutzt gerade

A \subseteq Spann (A)

(Extensivität von Spann), was ihr sicher in der Vorlesung hattet.
(3) ist gerade die Voraussetzung

Spann ({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}, \underline{b}}) = Spann ({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}})

Nun 'ran an die bei weitem interessantere Implikation "

\Rightarrow

":
Für die verwenden wir, dass

Spann (Spann (A)) = Spann (A)

gilt. (Idempotenz von Spann)

"

\subseteq

Spann ({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}}) \subseteq Spann ({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}, \underline{b}})

folgt aus

{{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}} \subseteq {{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}, \underline{b}}

. (Spann ist monoton [manche sagen auch isoton], d.h. erhält Teilmengenbeziehungen. Das sollte auch in der Vorlesung bewisen worden sein.)

"

\supseteq :

" Wenn

\underline{b} \in Spann({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}})

gilt, so folgt doch

Spann({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}}) \cup {\underline{b}} = Spann({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}})

. (*)

Aus

{{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}} \subseteq Spann({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}})

folgt offenbar

{{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}} \cup {\underline{b}} \subseteq Spann({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}}) \cup {\underline{b}} = Spann({{\underline{a}}^{(1)}, \dots, {\underline{a}}^{(m)}})

wegen (*)

Wendet man nun auf die letzte Kette Spann an und verwendet rechts die Idempotenz, so erhältst du "

\supseteq

".

Noch zu deinem Ansatz: Weniger Gelaber, mehr Mathe!
Mathematische Beweise sind vor allem formal. Und das ist es, was den Anfängern so große Probleme bereitet. Übe dich also im Formalismus.

Mfg Michael

PS: Wer da bei euch auf die Unterlängen und eingeklammerten "Indices" gekommen ist, gehört erschlagen!

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