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Lösbarkeit von LGS mittels Determinante

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Tags: Determinanten

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01:19 Uhr, 30.11.2009

Hi, da ich sonst verzweifle bitte ich hier um eine Antwort ;-)

Also, ich las dies:

[quote]
Bei einem quadratischen Gleichungssystem gibt die Determinante Auskunft über die Lösbarkeit. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.
[/quote]

ok. ungleich null.

und dann las ich dies

Die Gleichung

(A - λ E) \cdot x = 0

die Eigenwerte definiert, stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar. Da

x \neq 0

vorausgesetzt wird, ist dieses genau dann lösbar wenn gilt:

\det (A - λ E) = 0

also gleich null.

WIE GEHT DAS EINHER.

HELFT BITTE.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:50 Uhr, 30.11.2009

Keiner eine Idee. Das ist doch wirklich verwirrend

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16:05 Uhr, 30.11.2009

wann ist ein homogenes Gleichungssystem lösbar (damit meine ich , eine andere Lösung von der trivialen) ? hast du mal eins gelöst ?

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17:03 Uhr, 30.11.2009

Also, Herr Arrow. Das war ja eine sehr gute Frage!!!

Ich habe mich jetzt erstmal drangesetzt und wollte ein homogenes LGS in Form einer 2x2 Matrix erfinden. Dabei ist mir gleich mal aufgefallen, dass ich das garnicht in der Form kann, dass genau eine Lösung existiert (o. trv.). Denn es sind ja immer alle linear abhänging. (Korrekt?? UND: wolltest Du darauf hinaus).

Jetzt muss ich mal schauen, wie das für 3x3 Matrizen aussieht.

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18:29 Uhr, 30.11.2009

ähm versuche mal die beiden GLS zu lösen :

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & - 2 \\ 1 & 3 & - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 1 & - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

PS: wäre auch nicht schlecht wenn du die Determinante beiden Matrix berechnst

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18:45 Uhr, 30.11.2009

falls du damit angefangen hast es tut mir leid ich habe die erste Matrix jetzt editiert habe mich vorhin verrechnet :-)

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18:49 Uhr, 30.11.2009

... EDIT

So, jetzt mal ein Erklärungsversuch.

Erste Matrix:
Die erste ergibt nach Gauss:

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

womit sie unendlich viele Lösungen hätte. Die Determinante ist 0. Das heisst wenn bei homogenen LGS die Det. null ist, existieren unendlich viele Lösungen.

Zweite Matrix:
ergibt

(\begin{array}{rcl} 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{array})

also unlösbar. Bzw. nur triv. Lös.
Determinante ist ungleich 0, nämlich -5, glaube ich.

Ich glaube jetzt kapier ichs. Also im Grunde ist es so, wie bei inhomogenen:

\det A \neq 0 \Rightarrow

eindeutige Lösung, nämlich triviale

\det A = 0 \Rightarrow

keine eindeutige. Bei inhomogen muss man noch testen, ob unendlich viele Lösungen oder keine. Bei homogenen ist es immer unendlich?!?

Stimmt das so jetzt?

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19:23 Uhr, 30.11.2009

ja immer unendlich viele Lösungen

\to

es gibt also lösungen nur wenn

det A = 0 \to

die Zeilen linear abhängig

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19:33 Uhr, 30.11.2009

Alles klar. In bezug auf die Ausgangsfrage ist es mir jetzt total klar. Det(A) kann auch für inhomogene GS bedeuten, dass Lösungen vorliegen. Hab da was über Nebendeterminanten gelesen. Wenn diese alle null sind, gibts unendlich. Bei homogenen sind diese Determinanten dann wahrscheinlich alle null. Hab ich jetzt noch nicht getestet.

Vielen vielen Dank für die Beispiele und Deine Anteilnahme. Hätte sonst bis übermorgen (Prüfungstermin) total Panik bekommen :-)

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19:35 Uhr, 30.11.2009

Ja, seh es gerade.
Alle Nebendeterminanten sind immer null bei homogenen GS.
Vielen dank nochmal

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19:36 Uhr, 30.11.2009

jepp und viel Glück bei der Klausur

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