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Lösen einer Differentialgleichung 2. Ordnung

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Mathematikus20 aktiv_icon

14:10 Uhr, 17.07.2010

hi, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung $y^{''} + 2 y^{'} + 2 y = x^{2} + \sin (x)$

Ich habe als Lösungen der charakteristischen Gleichung folgendes herausbekommen:

$k_{1} = - 1 + j$

$k_{2} = - 1 - j$

Wie muss ich jetzt weiter fortfahren?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

sixshot aktiv_icon

14:13 Uhr, 17.07.2010

hi

wie immer:
fundamentalsystem aufstellen... e^(k1 x) ; e^(k2 x) ...
lösung für das homogene system aufstellen und ansätze für die störfunktionen finden/ bestimmen.

rauskommen sollte:
y(x) = a e^(-x) sin(x)+b e^(-x) cos(x)+1/10 (5 (x-1)^2+2 sin(x)-4 cos(x))

grüße six

Mathematikus20 aktiv_icon

14:16 Uhr, 17.07.2010

Weiß aber nicht wie ich das machen soll, weil k1 und k2 komplex sind und die Störfunktion aus x² und sin(x) besteht.

sixshot aktiv_icon

14:17 Uhr, 17.07.2010

hi

eulerbeziehung

e^(i phi) = cos(phi) + i sin(phi)

brauchst eben die realen anteile deiner gefunden lösung...

grüße six

anonymous

14:18 Uhr, 17.07.2010

Du musst dir eine Störfunktion basteln oder aus ner Tabelle ablesen , dann homogene DGL lösen mit pq Formel , dann mit Konstantenbestimmung der Störfunktion die inhomogene DGL lösen .

In diesem Fall ist die Störfunktion eine Kombination aus Sinusfunktion und Polynomfunktion .
Diese beiden yp Standartlösungen addierst du einfach und schon hast deine Störfunktion .
Die Störfunktion leitest du dem Grad deiner Ableitungen nach 2 mal ab und setzt sie in die DGL ein und bestimmst die Konstanten der Störfunktion mit Koeffizientenvergleich .
Lösung ist dann die Homogene Lösung

+

Störfunktion deren Konstanten bestimmt worden sind .

anonymous

14:19 Uhr, 17.07.2010

Ich empfehle Papula Formelsammlung um Störfunktionen zu bestimmen .

Mathematikus20 aktiv_icon

14:48 Uhr, 17.07.2010

dann würde da also stehen:

$C_{1} \cdot e^{(- 1 + j) x} + C_{2} \cdot e^{(- 1 - j) x}$

Und wie müsste ich dann weitermachen?

anonymous

14:58 Uhr, 17.07.2010

Das müsste dastehen bei 2 komplexen NST:

- 1 + i

- 1 - i

\Rightarrow y = e^{- x} \cdot (C 1 \cdot sin (x) + C 2 \cdot cos (x))

So nach Reedit stimmt es nun , weil ich vorher die NST falsch abgeschrieben habe .

Nun suchst dir die Störfunktionen

Mathematikus20 aktiv_icon

15:01 Uhr, 17.07.2010

muss das nicht hier $e^{- x} \cdot (C_{1} \cos (x) + C_{2} \cdot \sin (x))$ heißen weil die Nullstellen ja -1+j und -1-j sind.

anonymous

15:05 Uhr, 17.07.2010

Für

x^{2}

wär yp =Ax^2+Bx+C
Für Sinus(wx) weiß ichs nicht auswendig musst halt nachsehn und die Störfunktion nehmen wo

w

die Lösung der Charakteristischen Gleichung ist , weil

w = 1

ja NST war.

anonymous

15:06 Uhr, 17.07.2010

Ja sorry muss

- x

heißen , hab mich verschaut hab deine Lösungen oben falsch abgeschrieben siehst ja dastehn , ich verbessere das oben mal mit Edit .

Mathematikus20 aktiv_icon

15:17 Uhr, 17.07.2010

Muss ich dann die $y_{p}$ Funktion inclusive ihrer beiden Ableitungen von jeder Störfunktion einzeln in die inhomogene DGL einsetzen?

anonymous

15:46 Uhr, 17.07.2010

Du addierst beide Störfunktionen ,die von

x^{2}

und dem Sinus einfach und erhälst dein komplettes yp dadurch ( Also yp gesammt = yp1 von

x^{2} +

yp2 von

sin (x))

.
Diese Gesammtfunktion yp leitest du ab 2 mal ab .
Die Ableitungen setzt du dann in die DGL ein .
( Die DGL sieht so aus dann : Also rechts vom = Zeichen den Störterm stehenlassen und links die Ableitungen die du gebildet hast einsetzten )

Durch Umformen oder vereinfachen der linken Seite müsstest du die Koeffizieten indem du linke Seite mit rechter vergleichst dann ablesen können .

Mathematikus20 aktiv_icon

15:51 Uhr, 17.07.2010

und die Koeffizienten davor müssen alle unterschiedlich sein von den 2 Störfunktionen?

Mathematikus20 aktiv_icon

16:00 Uhr, 17.07.2010

Also ich mein das so:

$y_{p 1} = a x^{2} + b x + c$

$y_{p 2} = d \cdot \sin (x) + c \cdot \cos (x)$

anonymous

16:15 Uhr, 17.07.2010

Also bei

y 2

musst das

c

umbennen in

e

weil du ein

c

schon in

y 2

stehen hast .

Ich denke yp2 müsste so sein

: x (E \cdot sin (x) + D \cdot cos (x))

weil

1 i

ja NST Lösung war .

Deswegen muss nochn

x

vor den Term .

Mathematikus20 aktiv_icon

16:21 Uhr, 17.07.2010

-1+j und -1-j war nullstelle nicht j alleine

Yokozuna aktiv_icon

18:51 Uhr, 17.07.2010

Der Ansatz

y_{p 2} = d \cdot sin (x) + e \cdot cos (x)

für die Störfunktion

sin (x)

ist richtig, weil

sin (x)

keine Fundamentallösung der homogenen Differentialgleichung ist (das kann
man leicht nachrechnen, denn

(sin (x))'' + 2 \cdot (sin (x))' + 2 \cdot sin (x) \neq 0)

. Die
beiden Fundamentallösungen sind

e^{- x} \cdot sin (x)

und

e^{- x} \cdot cos (x)

.
Wenn die Störfunktion

z . B

3 \cdot e^{- x} \cdot sin (x)

lauten würde (Fundamentallösung!),
dann wäre ein Ansatz

y_{p} = x \cdot e^{- x} \cdot (a \cdot sin (x) + b \cdot cos (x))

angebracht.

Mathematikus20 aktiv_icon

18:54 Uhr, 17.07.2010

aber ich muss doch erst $y_{p 1}$ und die Ableitungen in die inhomogene DGL einsetzen a, b und c ausrechnen und danach das gleiche mit $y_{p 2}$ machen oder nicht

oder alles zusammen?

anonymous

19:03 Uhr, 17.07.2010

Ja genau Yokozuna man muss das yp2 ohne das

x

nehmen .
Ich habe jetzt mal nachgeschaut bei den Störfunktionlösungen in der Formelsammlung .
Ich habe es ja oben getippt , dass ich die Lösung für die Sinusstörfunktion nicht auswendig kann.xD

Deswegen habe ich das mit dem wenn

w \cdot i

Lösung/Nichtlösung vertauscht .

Den Lösungsansatz mit dem

x

davor müsste man eben nehmen , wenn iw also hier

1 i

Lösung bei den NST der Gleichung oben gewesen wäre , was es ja nicht ist. .

Homogene Lösung stand ja schon oben .

anonymous

19:04 Uhr, 17.07.2010

Du kannst yp1 +yp2 rechnen .
Das leitest du dann ab uns setzt ein .

anonymous

19:09 Uhr, 17.07.2010

yp = a*x^2+bx+c+d*sin(x)+e*cos(x)

Das 2 mal ableiten und dann enstsprechend einsetzen .

anonymous

19:19 Uhr, 17.07.2010

yp = a*x^2+bx+c+d*sin(x)+e*cos(x)
yp´= 2ax+b+d

\cdot cos (x) - e \cdot sin (x)

yp´´=

2 a - d \cdot sin (x) - e \cdot cos (x)

DGL ist dann

2 (a - d \cdot sin (x) - e \cdot cos (x)) +

2 \cdot (

2ax+b+d

\cdot cos (x) - e \cdot sin (x)) +

2(a*x^2+bx+c+d*sin(x)+e*cos(x))

= x^{2} + sin (x)

wenn ich mich nicht verrechnet habe .

Mathematikus20 aktiv_icon

19:22 Uhr, 17.07.2010

Ich habe $y_{p} = a x^{2} + b x + c + d \cos (x) + e \sin (x)$

Ist das so auch richtig?

anonymous

19:31 Uhr, 17.07.2010

Ja genau ist richtig .
Das habe ich oben getippt so getippt .

anonymous

19:48 Uhr, 17.07.2010

So geht es dann weiter , wenn ich mich nicht verrechnet habe , bitte mal nachrechnen weil vermutlich

n

Fehler dabei sein könnte :

2 a - 2 d \cdot sin (x) - 2 \cdot e

*cos(x)+4ax+2b+

2 d

*cos(x)-2*e*sin(x)+2ax^2+2bx

+ 2 c + 2 \cdot d \cdot sin (x) + 2 \cdot e \cdot cos (x) = x^{2} + sin (x)

\Rightarrow - 2 \cdot d \cdot sin (x) - 2 e \cdot sin (x) + 2 \cdot d \cdot sin (x) = sin (x) \Rightarrow e = - \frac{1}{2}

\Rightarrow - 2 \cdot e \cdot cos (x) + 2 \cdot d \cdot cos (x) + 2 \cdot e \cdot cos (x) = 0 \Rightarrow d = 0

=>2ax^2

= x^{2} \Rightarrow a = \frac{1}{2}

\Rightarrow 1 + 2 b + 2 c = 0

4ax+2bx

= 0 x

2 + 2 b = 1

\Rightarrow b = 1

\Rightarrow 2 b + 2 c = - 1

\Rightarrow c = - \frac{3}{2}

anonymous

19:54 Uhr, 17.07.2010

yp = a*x^2+bx+c+d*sin(x)+e*cos(x)

= \frac{1}{2} x^{2} + x - (\frac{3}{2}) - \frac{1}{2} \cdot cos (x)

Rabanus aktiv_icon

20:00 Uhr, 17.07.2010

Hey,
die oben angegebene partikuläre Lösung

y_{p}

stimmt leider nicht !

Servus

anonymous

20:10 Uhr, 17.07.2010

Ja sicher irgendwo

n

Rechenfehler , habs auch mal mit dem Classpad lösen lassen .

Mathematikus20 aktiv_icon

20:10 Uhr, 17.07.2010

Ich habe $y_{p} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \cos (x) + \frac{1}{5} \sin (x)$ herausbekommen. ist das richtig?

anonymous

20:20 Uhr, 17.07.2010

Könnte stimmen .

Mathematikus20 aktiv_icon

20:22 Uhr, 17.07.2010

Okay danke :)

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