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Lösen einer komplexen Gleichung 3ten Grades

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

devanshell aktiv_icon

19:45 Uhr, 28.10.2010

Hey,

wie löse ich folgenden Gleichung:

z^{3} + (- 3 + 2 i) \cdot z^{2} + (3 - 6 i) \cdot z + 3 + 4 i = 0

z

sei eine komplexe Zahl.

Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

19:48 Uhr, 28.10.2010

Wie lautet die ursprüngliche vollständige Aufgabe im Originaltext?

devanshell aktiv_icon

22:38 Uhr, 28.10.2010

Aufgabe 4: (relativ einfach aber zeitraubend oder kurz und pfiffig)
Lösen sie die folgende Gleichung:

z^{3} + (- 3 + 2 i) \cdot z^{2} + (3 - 6 i) \cdot z + 3 + 4 i = 0

pleindespoir aktiv_icon

05:30 Uhr, 29.10.2010

z^{3} + (- 3 + 2 i) \cdot z^{2} + (3 - 6 i) \cdot z + (3 + 4 i) = 0

Hast du schon den Weg "einfach und zeitraubend" probiert?

Für kurz und pfiffig liegt glaube ich ein Tippfehler in der Aufgabenstellung vor.

Prüfe nochmal genau.

devanshell aktiv_icon

08:58 Uhr, 29.10.2010

Habe schon sämtliche Ideen versucht. Aber es führt am Ende auf keinerlei Gleichungen mit denen ich auf eine Lösung komme.
Hab mir auch den Kopf über die kurze pfiffige Lösung zerbrochen, finde aber auch hierbei keine Möglichkeit die Gleichung zu lösen.

pleindespoir aktiv_icon

14:19 Uhr, 29.10.2010

Finde auch keine trickreiche Lösung.

Wäre interessiert an der Musterlösung - poste die mal, wenn Du sie bekommen hast.

devanshell aktiv_icon

14:33 Uhr, 29.10.2010

Werd ich dann machen. Spätestens nächsten Do.

Findest du die einfach zeitraubende Lösung?

pleindespoir aktiv_icon

08:53 Uhr, 30.10.2010

zeitraubend, aber nicht einfach ginge es so:

http//de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

ansonsten leider noch immer keine Idee ...

pleindespoir aktiv_icon

20:07 Uhr, 30.10.2010

z^{3} + (- 3 + 2 i) \cdot z^{2} + (3 - 6 i) \cdot z + (3 + 4 i) = 0

ein möglicher Ansatz ist, nach Realteil und Imaginärteil zu trennen :

z^{3} + (- 3) \cdot z^{2} + (3) \cdot z + (3) = 0

(+ 2 i) \cdot z^{2} + (6 i) \cdot z + (+ 4 i) = 0

Beim Imaginärteil reduziert sich das Problem auf eine quadratische Gleichung, da

z^{3}

keine i-Komponente hat.

2 i \cdot z^{2} + 6 i \cdot z + 4 i = 0

2 i \cdot (z^{2} + 3 \cdot z + 2) = 0

z^{2} + 3 \cdot z + 2 = 0

z^{2} + 3 \cdot z + 2 + (\frac{3}{2})^{2} - (\frac{3}{2})^{2} = 0

(z + \frac{3}{2})^{2} - (\frac{3}{2})^{2} + 2 = 0

(z + \frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = 0

(z + \frac{3}{2})^{2} - ¼ = 0

(z + \frac{3}{2})^{2} = ¼

(z + \frac{3}{2}) = \pm \sqrt{¼}

z_{1, 2} = - \frac{3}{2} \pm ½

z_{1} = - \frac{3}{2} + ½

z_{1} = - 1

z_{2} = - \frac{3}{2} - ½

z_{2} = - 2

Da das die möglichen Ergebnisse für den Imaginärteil sind, könnte man jetzt mal probieren,

z_{1} = - i

oder

z_{2} = - 2 i

in die Ursprungsgleichung einzusetzen.

Wenn dabei eine Nullstelle entdeckt würde, könnte man durch Polynomdivision der Funktion durch den Linearfaktor die Gesamtgleichung um einen Grad reduzieren.

anonymous

20:36 Uhr, 30.10.2010

Hallo pleindespoir,

da in

z

selbst Real- und Imaginärteil stecken, ist Dein Versuch der Lösung durch Trennung in Real- und Imaginärteil leider zum Scheitern veruteilt!

pleindespoir aktiv_icon

22:30 Uhr, 30.10.2010

Stimmt grundsätzlich etwas, was Du sagst ... aaaber:

Eine komplexe Nullstelle hat sowohl einen Realteil, der Null sein muss, als auch einen Imaginärteil der Null sein muss.

Wenn also allein der eine der beiden Teile Null ist, kann - muss aber nicht - eine komplexe Nullstelle vorliegen.

Man prüft dann eben, ob das eine oder andere Ergebnis auch beim Realteil zu einer Null führt.

Diese Verfahren ist sicher keine zuverlässige Methode und die Trefferwahrscheinlichkeit ist auch nicht so supergross (was man noch näher betrachten könnte).

Dei Polynomen 3.Grades ist aber meist mindestens eine der drei Nullstellen entweder rein reel oder rein imaginär (vielleicht ist das auch immer so - müsste auch noch untersucht werden).

Von daher ist die Chance, nur den einen Teil der Funktion zu betrachten, schon etwas besser.

In diesem Fall hier jedenfalls funktioniert es - es war ja auch nach einem "tricky" Lösungsweg gefragt.

Spätestens nach diesem Beitrag müsste bestimmt einer der "Forumsuperprofis" sich mal melden ...

Yokozuna aktiv_icon

00:24 Uhr, 31.10.2010

Hallo zusammen,

bei den Übungsaufgaben in der Schule oder Uni, bei denen die Nullstellen eines Polynoms dritten Grades mit reellen Koeffizienten gesucht werden (da gibt es ja mindestens eine reelle Nullstelle), führt ja oft das Erraten einer ganzzahligen Nullstelle zum Erfolg. Hat man diese Nullstelle, dann kann man durch einen Linearfaktor dividieren und hat dann nur noch eine quadratische Gleichung. Diese Methode können wir auch hier bei einer Gleichung mit komplexen Koeffizienten probieren (hier muß es allerdings keine reelle Nullstelle geben). Eine Lösung der Gleichung hat ja generell die Gestalt

z = x + i \cdot y (x, y \in ℝ)

. Nehmen wir mal an, die Gleichung hätte eine reelle Lösung, also

z = x (y = 0)

. Setzt man daß in das Polynom ein und faßt alle Glieder ohne

i

und alle mit

i

jeweils zusammen, erhalten wir 2 Polynome mit einer Unbekannten

x

(das ist das, was Pleindespoir vorgeschlagen hatte). Wenn wir also einen Wert

x

finden, für den beide Polynome den Wert 0 erhalten, dann haben wir eine reelle Lösung gefunden. Die beiden Gleichungen lauten:

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + 3 = 0

2 x^{2} - 6 x + 4 = 0

oder

x^{2} - 3 x + 2 = 0

Die zweite Gleichung hat die Lösungen

x_{1} = 1

und

x_{2} = 2

.
Leider erfüllt keiner der beiden Lösungen

x_{1}

und

x_{2}

die erste Gleichung. Das bedeutet, daß diese Gleichung keine reellen Lösungen hat.
Also versuchen wir es mal mit einer rein imaginären Lösung

z = i \cdot y (x = 0)

. Eingesetzt in die Gleichung erhält man:

y^{3} \cdot i^{3} + (- 3 + 2 i) \cdot y^{2} \cdot i^{2} + (3 - 6 i) \cdot y \cdot i + 3 + 4 i = 0

Multipliziert man das aus und berücksichtigt

i^{2} = - 1,

erhält man jeweils nach Zusammenfassung der Terme mit und ohne

i

für den Realteil die Gleichung

3 y^{2} + 6 y + 3 = 0

oder

y^{2} + 2 y + 1 = {(y + 1)}^{2} = 0 \Rightarrow y = - 1

Für den Imaginärteil erhält man:

- y^{3} - 2 y^{2} + 3 y + 4 = 0

Wenn man hier

y = - 1

einsetzt, sieht man, daß auch die Gleichung für den Imaginärteil erfüllt ist. Also ist

z_{1} = y \cdot i = - i

eine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Nach Division des Polynoms durch

(z + i)

erhält man die quadratische Gleichung

z^{2} + (- 3 + i) \cdot z + (4 - 3 i) = 0

Auflösung,

z . B

. durch quadratische Ergänzung liefert die beiden anderen Lösungen

z_{2} = 2 + i

und

z_{3} = 1 - 2 i

.

Viele Grüße
Yokozuna

pleindespoir aktiv_icon

00:41 Uhr, 31.10.2010

So hatte ich das auch zunächst gemacht - fand es aber nicht so "trickreich".

Aber Dein Weg ist natürlich einwandfrei.

Yokozuna aktiv_icon

01:15 Uhr, 31.10.2010

Wenn wir jetzt auch keine rein imaginäre Lösung (also mit

x = 0)

gefunden hätten, wäre es schwierig geworden. Wenn man

z = x + i \cdot y

mit

x \neq 0

und

y \neq 0

in die Gleichung einsetzt und wieder in Real- und Imaginärteil aufdrösselt, bekommt man diese 2 Gleichungen:

x^{3} - 3 x y^{2} - 3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x y + 3 x + 6 y + 3 = 0

- y^{3} + 3 x^{2} y + 2 x^{2} - 2 y^{2} - 6 x y + 3 y - 6 x + 4 = 0

Da jetzt noch ganzzahlige Werte für

x

und

y

zu finden, für die beide Gleichungen erfüllt sind, sieht nicht sehr verlockend aus.

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