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Lösen einer partiellen Differentialgleichung

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Charakteristik, Partielle Differentialgleichungen

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01:06 Uhr, 24.04.2025

Hallo, ich verzweifle gerade leider an einer Aufgabe.
Die Aufgabe lautet:
"Wir definieren die Funktion

f : ℝ^{3} \times (0, \infty) \to ℝ

und

g : ℝ^{3} \to ℝ

durch

f (x, y, z, t) := s i n (x y^{2} + t)

g (x, y, z) := e^{z^{3}}

Geben sie eine explizite Lösung

u \in C^{1} (ℝ^{3} \times [0, \infty))

der partiellen Differentialgleichung
(i)

\partial_{t} u + \partial_{x} u - \partial_{z} u = f

(ii)

u (\dot{}, 0) = g

an. Ist diese Lösung eindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort."

In der Vorlesung haben wir die Lösungsmethode durch Charakteristiken kennengelernt. Ich habe die das Beispiel der Vorlesung eigentlich verstanden, wohl aber nicht zu 100%. Ich habe mich daran Orientiert, aber kam nicht auf die Lösung. Hier mein Ansatz:

1) Wir formen den Term (i) um zu:

\partial_{t} u + \partial_{x} u - \partial_{z} u - f = 0

und wollen diesen Integrieren, was durch das Fundamentallemma der Variationsrechnung gleichbedeutend ist.

(*)_{1}

Da fängt schon das erste Problem an. Wie kann ich

f

abschätzen, um die Endlichkeit des Integrals zu garantieren?

2) Außerdem verwenden wir charakteristische Kurven für unsere Variablen. Die Vorzeichen unserer partiellen Ableitungen helfen uns dabei. Wir bekommen also:

x (t) = x_{0} + t

und

z (t) = z_{0} - t

3) Jetzt sollten wir durch umformen von 1) auf unsere Lösung kommen:

u (x, y, z, t) = u (x (t), y, z (t), 0) + \int_{0}^{t} f (x - t - s, y, z - t - s, s) d s

= e^{(z - t)^{3}} + \int_{0}^{t} s i n ((x_{0} + t) y^{2} + s) d s

(*)_{2}

Mein nächstes Problem ist, wenn ich das zurück rechne kommt bei (i) keine Gleichheit raus. Was habe ich falsch gemacht?

Ich wäre für jede Hilfe sehr Dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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