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Lösung LGS mit 3 Unbekannten und 2 Gleichungen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Gauß Algorithmus, Matrizenrechnung

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Student1987

Student1987 aktiv_icon

13:28 Uhr, 14.07.2015

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Hallo ihr Lieben,

ich habe eine Frage bezüglich des Gauß-Algorithmus. Ich weiss, wie man ein Lineares Gleichungssystem mithilfe des Gauß löst, dabei ging es immer um 3 Gleichungen und 3 Unbekannten(x1,

x 2

und

x 3)

. Jedoch sehe ich das in einer Altklausur ein LGS mit NUR 2 gleichungen und 3 Unbekannten zu lösen war. In den Vorlesungen haben wir das bisher nicht bearbeitet.

Die Aufgabe lautet:

- 6 \cdot x 1 - 3 \cdot x 2 + 3 \cdot x 3 = 6

5 \cdot x 1 + 1 \cdot x 2 - 4 \cdot x 3 = - 11

Das Gleichungssystem muss mit dem Gauß-Algorithmus gelöst werden.

Mein Problem hierbei ist nur, dass, bei der Matrizen Bildung zum Schluss eine 1 Diagonale und links unten ein 0 Dreieck entstehen soll. Ich stehe auf dem Schlauch. Wie kann ich da die Lösungsmenge angeben?
Weiss da jemand weiter?
Wäre um jeden Rat dankbar.

LG
Sandra

Online-Nachhilfe in Mathematik

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supporter

supporter aktiv_icon

13:34 Uhr, 14.07.2015

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vgl:
de.wikibooks.org/wiki/MathGymOS/_LGS/_Mehr_Unbekannte_als_Gleichungen

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Edddi

Edddi aktiv_icon

14:25 Uhr, 14.07.2015

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. .

. nimm eine Variable als Parameter (manchmal muss man auch die Variable, welche zum Parameter wird, wechseln um die Lösungen zu erhalten):

x_{3} = t

- 6 \cdot x_{1} - 3 \cdot x_{2} = 6 - 3 \cdot t

+ 5 \cdot x_{1} + 1 \cdot x_{2} = - 11 + 4 \cdot t

erw. Koeff.-Matrix:

(\begin{matrix} - 6 & - 3 & | 6 - 3 t \\ 5 & 1 & | - 11 + 4 \cdot t \end{matrix})

Z 2 = \frac{1}{3} \cdot Z 1 + Z 2

(\begin{matrix} - 6 & - 3 & | 6 - 3 t \\ 3 & 0 & | - 3 (3 - t) \end{matrix})

Damit ist dann

3 \cdot x_{1} = - 3 (3 - t) \Rightarrow x_{1} = t - 3

Einsetzen in 1. zeile:

- 6 \cdot (t - 3) - 3 \cdot x_{2} = 6 - 3 \cdot t

x_{2} = 4 - t

Du hast dann den Lösungsvektor

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} t - 3 \\ 4 - t \\ t \end{matrix})

Es gibt also unendlich viele Lösungen, welche du durch einsetzen eines belibigen

t' s

in den Vektor erhälst.

;-)

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steveQ

steveQ aktiv_icon

17:29 Uhr, 14.07.2015

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Das Ergebnis

\vec{x} = (\begin{array}{rcl} - 3 \\ 4 \\ 0 \end{array}) + t (\begin{array}{rcl} 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array})

ist die Schnittgerade der beiden Ebenen - 6x - 3y + 3z = 6 und 5x + y - 4z = - 11

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