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Lösung einer komplexen Gleichung

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

anonymous

22:44 Uhr, 11.06.2017

Hallo zusammen,
wir sollen für die Uni diese 2. komplexen Gleichungen lösen und in der Schreibweise x+iy angeben:

1 .) z^{4} = {(1 + i \sqrt{3})}^{2}

2 .) z^{5} = - 8 z^{2} i

Meine bisherige Vorgehensweise zu

1 .)

z^{4} = {(1 + i \sqrt{3})}^{2}

z = \sqrt[4]{1 + i \sqrt{3}}

z = \sqrt[4]{- 2 + 2 i \sqrt{3}}

Und damit bin ich mit meinem Latein leider am Ende.. Wolfram-Alpha gibt mir als Lösung

\pm \sqrt[4]{- 2 + 2 i \sqrt{3}}

und

\pm (i \sqrt[4]{- 2 + 2 i \sqrt{3}}

wobei ich nicht verstehe wie man auf das+- kommt (Fallunterscheidung durch das Wurzelziehen zu Beginn?) und wieso in der 2. Lösung noch ein weiteres

i

im Term steht..

Meine bisherige Vorgehensweise zu

2 .)

z^{5} = 8 z^{2} i

z^{3} = 8 i

z = \sqrt[3]{8 i}

Auch hier gibt Wolfram-Alpha 4 andere Lösungen an.
Liege ich mit meinem bisschen Ansatz komplett daneben oder hab ich nur grobe Folgefehler gemacht und was übersehen?

Schon jetzt Vielen Dank

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

rundblick aktiv_icon

23:08 Uhr, 11.06.2017

.
"Meine bisherige Vorgehensweise zu 2.)"

z^{5} = - 8 z^{2} \cdot i

z^{2} \cdot (z^{3} + 8 \cdot i) = 0

\to

wann hat ein Produkt den Wert 0 ?

\to

hier also

\Rightarrow

a) \to .

b) \to .

.
mach mal so weit

\to

oh.. schon weggetaucht..? !

na ja - dann halt nur noch ein Tipp :
schreibe zur Lösung von

z^{n} = a . .

. zuerst die komplexe Zahl

\to a

in Polarform um
usw,usw..
.

anonymous

23:15 Uhr, 11.06.2017

Also

z^{5} - 8 z^{2} i = 0

z^{2} (z^{3} - 8 i) = 0

Dann wäre

z 1 = 0

da ja dann das Produkt 0 wird.
aber die weitere Lösung wäre ja dann weiterhin

z = \sqrt[3]{8 i}

oder?

rundblick aktiv_icon

23:22 Uhr, 11.06.2017

.
gegeben war als Aufgabe:

2) z^{5} = - 8 \cdot z^{2} \cdot i

oder?

"aber die weitere Lösung wäre ja dann weiterhin

z = \sqrt[3]{8 i}

. .

. NEIN

!!

\to 1)

aus

\to z^{3} + 8 i = 0 .

. folgt NICHT

\to z^{3} = 8 i .

. SONDERN

\to z^{3} = - 8 i

\to 2)

hatte ich dir oben doch schon notiert was du nun

z u e r s t

machen sollst .. also:

. .

.

beratungsresistent?
und schon wieder verschwunden?
also dann halt nicht

. .

.
.

anonymous

00:25 Uhr, 12.06.2017

passt.

blume23 aktiv_icon

00:38 Uhr, 14.06.2017

hallo,

ich hänge an der selben aufgabe. auf dem bild sind meine ersten schritte beschrieben.
verstehe nun auch nicht wie ich auf die 4 lösungen bei der ersten kommen soll.
ich habe bei der zweiten nur 2 lösungen raus. mit den vorschlägen kann ich bisher nichts anfangen...hat jemand noch paar tipps??

Connor1 aktiv_icon

02:10 Uhr, 14.06.2017

Hallo,

ich habe mal die Aufgabe versucht zu rechnen, falls ich falsch liege dann korrigiert mich bitte :-)

zu der ersten Aufgabe:

z^{4} = {(1 + i \sqrt{3})}^{2}

Klammer Auflösen

z^{4} = 1 + 2 \sqrt{3} i - 3 = - 2 + 2 \sqrt{3} i

Also wir halten fest:

z^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i

Man kann jetzt davon ausgehen, dass die komplexe Gleichung 4 Lösungen hat, da

z^{4}

.
Dafür muss man das dann in die Polardarstellung umschreiben.

Das geht so:

z_{k} = \sqrt[n]{| x + y |} \cdot e^{i}

*(arctan(y/x)/n +"

\frac{π}{n}

+ \frac{2 π k}{n})

Die ganze Klammer steht im Exponenten und wird komplett durch

n,

die Hochzahl geteilt.

+ π

wird nur gerechnet, wenn die Komplexe Zahl (Re

+

Im) also hier

- 2 + 2 \sqrt{3} i

im zweiten oder dritten Quadranten liegen, da dann nämlich der gegenüberliegende Winkel berechnet wird und man dann nochmal um den richtigen Winkel zu bekommen

π

dazurechnen muss.

Das würde dann bei der Aufgabe entsprechen:

z_{k} = \sqrt[4]{\sqrt{16}} \cdot e^{i}

-(arctan

(\sqrt{3}) + π + 2 π k)

Klammer durch

4,

n = 4

\sqrt[4]{\sqrt{16}} = \sqrt{2},

arctan

(\sqrt{3}) = \frac{π}{3}

\Rightarrow z_{k} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot (\frac{\frac{2}{3} π + 2 π k}{4})}

Nun für

k

die Werte

0, 1, 2, 3

einsetzen

(0

bis

n - 1)

z_{0} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot (\frac{\frac{2}{3} π + 2 π 0}{4})} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac{1}{6} π}

z_{1} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot (\frac{\frac{2}{3} π + 2 π \cdot 1}{4})} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac{4}{6} π}

z_{2} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot (\frac{\frac{2}{3} π + 2 π \cdot 2}{4})} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac{7}{6} π}

z_{3} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot (\frac{\frac{2}{3} π + 2 π \cdot 3}{4})} = \sqrt{2} \cdot e^{i \cdot \frac{10}{6} π}

Das wären dann die vier Lösungen in der Polardarstellung, gegebenenfalls musst du dann noch umschreiben in

x + i y

mit

z = r e^{i \cdot φ} = r (cos (φ) + i sin (φ))

Falls ich falsch liege dann korrigiert mich bitte, ich will hier nichts falsches erzählen.

Wenn du noch Hilfe zur zweiten Aufgabe brauchst dann kannst du gerne Bescheid geben!

Gruß
Connor

rundblick aktiv_icon

12:35 Uhr, 14.06.2017

.
"Falls ich falsch liege dann korrigiert mich bitte"

@Connor

\to

bei "Das geht so:

\to \sqrt[n]{| x + y |} \cdot . .

\to

ist falsch

\to

es fehlt entweder ein

\cdot i

beim

y

... ... ... . .

. oder : du schreibst

\to \sqrt[n]{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}

\to

dann bei der konkreten Aufgabe "Das würde dann bei der Aufgabe entsprechen:"
da ist

\to

arctan(sqrt(3)) nicht richtig .. wenn du nachher dein

+ π

rechnest..

der Winkel ist hier wegen

\frac{y}{x} = - \sqrt{3}

..richtig mit

\to

arctan(-

\sqrt{3}) = - \frac{π}{3} .

.
was dann nachher mit dem

+ π

den Wert

\frac{2 π}{3}

ergibt, mit dem du ja dann
richtig weitermachst..

@ blume23

\to

es wäre besser, du stellst hier deine Fragen selbst neu

sich an eine fiese Type anhängen, die in die Anonymität abtaucht, ist keine gute Idee.

.

Connor1 aktiv_icon

13:47 Uhr, 14.06.2017

Hallo,

also ich dachte man kann arctan(-

\sqrt{3})

auch als - arctan(

\sqrt{3})

rechnen. Das ergibt ja dann ebenfalls

- \frac{π}{3}

.
Das habe ich oben so hingeschrieben.

Oder darf man das dann doch nicht so schreiben?

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