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Lösung ohne GTR möglich?

Schüler

Tags: Inegral

Joshua2 aktiv_icon

12:56 Uhr, 17.02.2025

Hallo, weiss jemand, ob man die Aufgabe auch ohne GTR und ohne TR der Nullstellen berechnen kann, lösen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mathadvisor aktiv_icon

13:15 Uhr, 17.02.2025

Wie lautet denn die Funktion, deren Nullstellen Du suchst?

Joshua2 aktiv_icon

13:26 Uhr, 17.02.2025

a) 6*cos(12x)/Pi = 0
b) cos (o,2618x) + 2,5Pi/6 - 1 = 0

KL700 aktiv_icon

13:53 Uhr, 17.02.2025

a)

Gesucht ist das Integral von fa(x).
Die Zuflussrate ist die Ableitung der Funktion ga(x), deren Ableitung fa(x) ist.
ga(x) gibt den Wasserstand zum Zeitpunkt

x

an.

Ich komme auf: ga(x)

= \frac{6}{π} \cdot cos (a x)

Joshua2 aktiv_icon

13:56 Uhr, 17.02.2025

Ja und nach 12 Stunden soll ja wieder Wasser rein fließen, also ga(12) = 0
Ob man dann mit 12x oder 12 a rechnet, sollte ja gleich sein, wenn man das Ergebnis für a einsetzt

Randolph Esser aktiv_icon

14:14 Uhr, 17.02.2025

Sei

a \neq 0

. Dann gilt

6 π cos (a x) = 0

\Leftrightarrow cos (a x) = 0

\Leftrightarrow a x \in {\frac{π}{2} + k π : k \in Z}

\Leftrightarrow x \in {\frac{π + 2 π k}{2 a} : k \in Z}

.

Mit

a = 12

also

x \in {\frac{π + 2 π k}{24} : k \in Z}

.

Für

b)

wird die Sache haariger...

Roman-22

14:16 Uhr, 17.02.2025

Mir ist unklar was du wie gerechnet hast und warum du meinst, es wäre egal, ob man

x

oder a verwendet. Ist dir klar, dass a ein Parameter mit der Einheit 1/hr ist,

x

aber eine Zeit in Stunden?

Vielleicht solltest du deine Rechnung mal hier etwas ausführlicher darlegen anstatt sie nur mich Stichworten zu skizzieren.

Zu deiner ursprünglichen Frage, ob die Aufgabe ohne GTR lösbar ist: Ja, ist sie.
Die Aufgabenteile

a)

und

b)

sind zur Gänze ohne TR lösbar, sofern man sich bei

b)

mit einer Lösungsangabe von

\frac{1200}{π}

Liter zufrieden gibt.Für den numerischen Näherungswert

381,97

Liter reicht dann ein 'gewöhnlicher' TR.

Teilaufgabe

c)

ist nur bis zum Ausdruck

a r c c o s (1 - \frac{5 π}{12})

ohne TR lösbar.
Für die numerische Näherungs-Angabe der beiden Lösungen

(7,2 h

und

16,8 h)

reicht dann wieder ein normaler TR.
Grundsätzlich hast du die Gleichung ja richtig angegeben (nur fälschlicherweise der Aufgabe

b)

zu geordnet), allerdings ist es wenig sinnvoll, gerundete Zahlen wie eben

0,2618

inmitten der Rechnung anzugeben.
Die Gleichung, die bei

c)

zu lösen ist, lautet daher sinnvollerweise

cos (\frac{π}{12 h} \cdot x) = 1 - \frac{5 π}{12}

.
Jetzt die Umkehrung drüberstülpen und deren Mehrdeutigkeit beachten, um alle Lösungen im gewünschten Bereich zu erhalten

\to x_{1,2} = 12 h \pm \frac{12 h}{π} \cdot a r c c o s (1 - \frac{5 π}{12})

.
Beachte: Die Umkehrung der Kosinus-Funktion ist vieldeutig, die Umkehrfunktion

a r c c o s

ist aber (damit es eine Funktion ist) künstlich eindeutig definiert durch Beschränkung auf den Wertebereich

[0; π]

Joshua2 aktiv_icon

14:41 Uhr, 17.02.2025

Die Lösungen hab' ich auch, allerdings mit dem GTR, daher ja auch die Frage wie es ohne geht.

a) - (6a/Pi)*sin(12a)= 0
a= 0,2618

b) F(12) - F(0) = 381,97

c) F(t) - F(0) = -2,5
(6/Pi)cos(0,2618t) -6/Pi = -2,5
cos(0,2618t) + 2,5/Pi - 1 = 0

Wie kann man a) und c) ohne GTR lösen?

a) - (6a/Pi)*sin(12a)= 0
=> - 6a/Pi = 0 V sin(12a)= 0
=> a = 0 V 12a = PI
=> a = 0 V a = 0,2618

Roman-22

14:48 Uhr, 17.02.2025

Für

c)

hab ich das ja oben ausgeführt.
Wie schon erwähnt muss man für den numerischen Wert die Berechnung von

a r c c o s (1 - \frac{5 π}{12})

einem TR überantworten, der diese Funktion (leider oft fälschlich mit

{cos}^{- 1}

beschriftet) anbietet.

Bei

a)

ist es ähnlich.
Dass der Vorfaktor

- \frac{6 a}{π} = 0

ist, kann man ja wohl vorweg ausschließen.
Zu lösen ist dann nur die Gleichung

sin (12 h \cdot a) = 0

.
Und dass die Sinusfunktion ihre Nullstellen bei allen Vielfachen von

π

hat, das sollte man doch auch ohne GTR einfach wissen, oder?
Die erste postive Nullstelle der Sinusfunktion ist also

π

und aus der Gleichung

12 h \cdot a = π

zu errechnen, dass

a = \frac{π}{12 h} \approx 0,2618 \frac{1}{h}

ist, sollte auch ohne GTR möglich sein.

Weiter rechnen solltest du aber immer mit dem genauen Ausdruck und nicht mit der numerischen Näherung!

Joshua2 aktiv_icon

14:53 Uhr, 17.02.2025

bin auch auch gerade drauf gekommen, muss ja 180 Grad sein. Genauer wäre dann wohl a = Pi/12

Fehlt noch: cos(Pi*t/12) + 2,5/Pi - 1 = 0

Roman-22

15:01 Uhr, 17.02.2025

Man kann es ja auch so sehen.
Eine Sinusfunktion mit der Periode

T

hat die Form

sin (\frac{2 π}{T} \cdot t)

Die gesuchte Funktion

sin (a \cdot x)

muss natürlich die Periode

T = 24 h

haben.
Also ist

a = \frac{2 π}{24 h} = \frac{π}{12 h}

>

Fehlt noch:

cos (Π \cdot \frac{t}{12}) + \frac{2,5}{Π} - 1 = 0

Nein, fehlt nicht! Hab ich doch weiter oben schon ausgeführt.
Nur sind deine

\frac{2,5}{π}

falsch, das sollten

\frac{5 π}{12}

sein und nicht

\frac{5}{2 π}!

Das hattest du anfangs noch richtig, also du

2,5 \frac{π}{6}

geschrieben hast.

Der Unterschied zu

a)

ist nur der:
Zu wissen, dass

a r c s i n (0) = k \cdot π

mit

k \in ℤ

ist, das kann man von dir wohl verlangen.

Den Wert von

a r c c o s (1 - \frac{5}{12 π})

zu kennen wird man von dir kaum verlangen (ist auch kein "schöner" Wert) sondern dafür wirst du einen TR bemühen dürfen - muss aber kein CAS oder GTR sein.
Was du natürlich auch an Wissen mitbringen musst ist, dass eine Gleichung wie

cos (α) = b

nicht nur die Lösung

α = a r c c o s (b)

hat, sondern dass auch

α = - a r c c o s (b)

eine Lösung ist.
Dass es unendlich viele weitere Lösungen gibt indem man zu den beiden beliebige Vielfache von

2 π

addiert, ist bei dieser Aufgabe nicht von Belang, weil ja nur Lösungen im Bereich der ersten

24

Stunden gesucht sind.

P . S . :

Schreib mal "pi" anstelle von "Pi" im normalen Text-Modus.

Randolph Esser aktiv_icon

16:34 Uhr, 17.02.2025

Hier meine Bearbeitung der Aufgabe,

falls es wen interessiert:

Zu

a)

Zu bestimmen ist

a \in R

für

f_{a} : R \to R, x \mapsto - \frac{6 a}{π} sin (a x),

sodass

f_{a} (x) \leq 0,

falls

x \in [24 k, 12 + 24 k]

und

f_{a} (x) \geq 0,

falls

x \in [12 + 24 k, 24 + 24 k]

für alle

k \in Z

gilt.

Das ist äquivalent zu

sin (a x) \geq 0,

falls

x \in [24 k, 12 + 24 k]

sin (a x) \leq 0,

falls

x \in [12 + 24 k, 24 + 24 k]

für alle

k \in Z

.

Das ist erfüllt, wenn

a x \in [2 π k, π + 2 π k],

falls

x \in [24 k, 12 + 24 k]

a x \in [π + 2 π k, 2 π (k + 1)],

falls

x \in [12 + 24 k, 24 + 24 k]

für alle

k \in Z

.

Zum Rechnen dürfen wir oBdA

k = 0

setzen und erhalten

a x \in [0, π],

falls

x \in [0, 12]

a x \in [π, 2 π],

falls

x \in [12, 24]

und damit

a = \frac{π}{12}

.

Zu

b)

\int_{0}^{12} f_{\frac{π}{12}} (x) d x

= \int_{0}^{12} (- \frac{1}{2} sin (\frac{π}{12} x)) d x

= \frac{6}{π} cos (\frac{π}{12} x) |_{0}^{12}

= \frac{6}{π} (cos (π) - cos (0)) = - \frac{12}{π}

.

In dem Tank müssen sich mindestens

\frac{12}{π} \cdot 100 \approx 381,972

Liter (TR) befinden.

Zu

c)

5 + \int_{0}^{x} f_{\frac{π}{12}} (z) d z = \frac{25}{10}

\Leftrightarrow \frac{6}{π} (cos (\frac{π}{12} x) - cos (0)) = - \frac{25}{10}

\Leftrightarrow \frac{6}{π} cos (\frac{π}{12} x) = - \frac{25}{10} + \frac{6}{π}

\Leftrightarrow cos (\frac{π}{12} x) = - \frac{25 π}{60} + 1

\Leftrightarrow x = \frac{12}{π} a r c c o s (- \frac{25 π}{60} + 1) \approx 7,19991

(TR)

(beachte:

a r c c o s : [- 1,1] \to [0, π]

liefert nur die erste Lösung).

Nach ca.

7,2

Stunden sowie nach ca.

12 + (12 - 7,19991) \approx 16,8

Stunden

befinden sich ca.

250

Liter im Tank.

\approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx \approx

Einen TR habe ich nur an zwei Stellen benutzt,

die ich mit (TR) markiert habe.

HAL9000

16:53 Uhr, 17.02.2025

Anmerkung: Bei deiner Betrachtung "Das ist äquivalent zu [...]" benutzt du implizit

a > 0

, was du zuvor nicht vorausgesetzt hast, d.h.: Du solltest es einfach dazu sagen.

Denn tatsächlich genügt es, positive

a

zu betrachten, da negative

a

wegen

- \frac{6 a}{π} \sin (a x) = - \frac{6 ∣ a ∣}{π} \sin (∣ a ∣ x)

eh keinen Mehrwert für die Funktionsklasse bringen.

Randolph Esser aktiv_icon

17:13 Uhr, 17.02.2025

Ja, fürwahr, Danke.

Dann ersetze man "Das ist äquivalent zu..." durch

"Das ist erfüllt, wenn...", wie ich es auch später

verwendet habe...

Und Joshua, C.F.Gauss konnte das bestimmt alles

im Kopf rechnen. Aber auch wir brauchen den TR

ja eigentlich nur wegen der Schul-Konvention,

die Lösungen als gerundete Fließkommazahlen

anzugeben. An der Uni wäre das sogar unerwünscht.

Dort würde man auf jeden Fall die Terme als Lösungen

verlangen, also

\frac{1200}{π}

bei

b)

und

\frac{12}{π} a r c c o s (- \frac{5 π}{12} + 1)

bzw.

24 - \frac{12}{π} a r c c o s (- \frac{5 π}{12} + 1)

bei

c)

Joshua2 aktiv_icon

17:23 Uhr, 17.02.2025

Also x für a hab' ich nur genommen, da der GTR x haben möchte.

@Roman-22
ja, ist 2,5Pi/6 da hatte bei abschreiben meiner Rechnung einen Dreher eingebaut.

Lösung etwa 7,2 ist ja doch mit TR dann recht einfach bei c).

Auf die 16,8 wollte ich jetzt mit

-2,5 - (F(t)-F(7,2)) = -2,5

kommen.

Im GTR geht das, hab' jetzt aber keine Zeit für die Rechnung und kann gut sein, dass wieder nur 7,2 raus kommt, da 16,8 die zweite Nullstelle ist.
Aber die Lösung von Rudolf und Roman 12+(12-7,19991) gleich etwa 16,8 Stunden ist sicher richtig und eleganter :-)

Randolph Esser aktiv_icon

18:04 Uhr, 17.02.2025

"Das ist erfüllt, wenn

a > 0

und..." statt

"Das ist äquivalent zu...", meine ich.

Ommmmmmmmmm...

Thorstenata aktiv_icon

20:52 Uhr, 18.02.2025

Ich stimme zu, dass die Lösung über TR in Punkt

c)

das Problem wirklich vereinfacht. Haben Sie die alternative Methode durchprobiert? Ich frage mich, ob das Ergebnis übereinstimmen wird.

Randolph Esser aktiv_icon

20:52 Uhr, 19.02.2025

Also, falls Du meinst,

\frac{π}{12} a r c c o s (- 5 \frac{π}{12} + 1)

zu Fuß (bis zu einer gewissen Genauigkeit)

als Fließkommazahl zu berechnen:

Das würde ich nur unter Zwang oder für sehr viel Geld machen

und dann würde ich dafür die

a r c c o s -

Reihe benutzen

(siehe Anhang).

Also sukzessive deren erste

n

Summanden berechnen

(bis zu einem gewissen

n),

die dann addieren,

zusammenfassen/kürzen, eine Näherung

für

π

einsetzen und dann eine Fließkommazahl

berechnen.

Aber das würde hässlich werden und ungenau dazu.

Nein, das ist genau eine Sache,

wo der Gomputer segenreich ist.

Die Typen im Mittelalter haben noch

sehr viel gerechnet (mussten sie ja)

und konnten das dann natürlich auch

relativ gut. Alle paar Jahre kam eine

Stelle zu

π

oder

e

dazu und dann musste

ein Bote (oder eine Brieftaube oder so)

das den anderen Genies im Lande kommunizieren...

Randolph Esser aktiv_icon

21:24 Uhr, 19.02.2025

Im Übrigen bin ich der Meinung,

dass dieser Thread nun von Joshua abgehakt werden sollte...

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