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Lösung von 2 Aufgaben
Schüler Fachschulen, 9. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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anonymous 16:07 Uhr, 27.09.2006  |
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Ey Leute bitte helft mir ich komme in Mathe nicht gut klar deshalb benötige ich unbedingt heute noch die Lösungen mit Lösungswege aus dem Buch LS9 Baden-Württenberg (Klasse9) auf Seite 7 Aufgabe 7 und 8! Bitte ihr müsst mir bei diesen Aufgaben helfen! Die Aufgaben lauten wie folgt: 7. Stelle zunächst eien lineare Gleichung mit zwei Variablen auf. Gib dann alle Lösungspaare an. a) Addiert man das Dreifache einer Natürlichen Nahl zum Fünffachen einer anderen Natürlichen Zahl, so erhält man 22. b) Addiert man die Hälfte einer natürlichen Zahl das Zehnfache einer natürlichen Zahl, so erhält man 60. c) Subtrahiert man die Gegenzahl eienr natürlcihen Zahl vom Dreiviertelfachen einer anderen Natürlichen Zahl, so erhält man 6. 8. a) Gib die fünf kleinsten Gewichte an, die man mit Gewichtsstücken von 3kg und 5kg abwiegen kann, wenn man sie nur auf eine Waagschale legen darf. b)Kann man mit diesen Gewichtsstücken 34kg abwiegen? BITTE LEUTE HELFT MIR DABEI!!!!!!!!!!!!! |
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Hi Paddy, das ist gar nicht so schwer. a) Addiert man das Dreifache einer Natürlichen Nahl zum Fünffachen einer anderen Natürlichen Zahl, so erhält man 22. ---> Also machen wir das doch mal! Nennen wir die erste natürliche Zahl n, das dreifache der natürlichen Zahl ist dann 3*n. Die zweite natürliche Zahl nennen wir m, dann ist das Fünffache 5*m. Diese beiden soll man nun addieren, also 3n+5m, herauskommen soll 22, also 3n+5m=22 Wir haben also die Gleichung 3n+5m=22 /-5m 3n=22-5m /:3 n=22/3-(5/3)m =1/3(22-5m) Das heißt, die Zahlenpaare sind (n,m)=(1/3(22-5m), m) Für m kannst du also etwas Beliebiges einsetzen. Nimm z.B. m=5, dann ist n=1/3(22-5*5)=1/3*(-3)=-1 Also m=5=>n=-1 und das stimmt auch, denn 3*(-1)+5*5=22 b) Addiert man die Hälfte einer natürlichen Zahl das Zehnfache einer natürlichen Zahl, so erhält man 60. So, gleiches Spiel ;-) Die erste natürliche Zahl sei n, die Hälfte ist dann n/2 Die zweite natürliche Zahl sei m, das Zehnfache ist dann 10m Beim Addieren soll 60 herauskommen, also n/2+10m=60 n/2+10m=60 /*2 n+20m=120 /-20m n=120-20m Zahlenpaare, die die Gleichung erfüllen, sind also (n,m)=(120-20m,m) Du kannst also wieder für m etwas Beliebiges wählen und dann ausrechnen, welches n dazugehört, nimm z.B. m=5, dann ist n=120-20*5=20 und 20/2+10*5=60 c) Subtrahiert man die Gegenzahl eienr natürlcihen Zahl vom Dreiviertelfachen einer anderen Natürlichen Zahl, so erhält man 6. Kriegst du die jetzt hin? Geht wieder ganz genau so! Wenn du noch fragen hast, meld dich! |
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Hallo, bei der Aufgabe a) ist Sonrisa ein Fehler unterlaufen. Bis zu der Stelle: Das heißt, die Zahlenpaare sind (n,m)=(1/3(22-5m), m) ist noch alles richtig, aber dann wird's falsch. Für m kann man nicht etwas beliebiges einsetzen, sondern nur natürliche Zahlen und dann muß für n auch eine natürlich Zahl rauskommen. Wenn man wie Sonrisa m=5 nimmt, erhält man (wie Sonrisa richtig gerechnet hat) für n=-1, das ist aber keine natürliche Zahl! Hier im Forum gibt es schon genügend Aufgaben dieses Kalibers, in denen Diophant zur Lösung vorgeschlagen wird, aber bei der gegebenen Gleichung ist es direkt etwas einfacher: Für m und n kann man folgende Ungleichungen aufstellen: 5*m <= 22 | /5 m <= 4,4 ; m ist eine natürlich Zahl m <= 4 3*n <= 22 | /3 n <= 7,3333 ; n ist eine natürliche Zahl n <= 7 Könnten m oder n gleich Null sein (Ist Null eine natürliche Zahl?), dann müßte 22 entweder durch 3 oder durch 5 teilbar sein, damit der jeweils andere Wert eine natürliche Zahl ist. Damit kann man nun eine simple Tabelle (für m=1 bis m=4 und für n=1 bis n=7 erstellen und schauen, wo da nun überall 22 rauskommt oder man macht sich weitere Gedanken: Zum Beispiel: 3*n + 5*m = 22 | -5*m 3*n = 22 - 5*m Für welche der 4 Möglichkeiten für m ergibt 22-5*m eine durch 3 teilbare Zahl? Nur für m=2 ist 22-5*m=12 eine durch 3 teilbare Zahl und zusammen mit n=4 eine Lösung! oder 2*3 = 6 = 5 + 1 Ich mach den Ansatz, daß ich zunächst m maximal und n (weniger als) minimal wähle, also m=4 und n=0. Dann ergibt 3*n + 5*m = 20. Mir fehlen bis zur 22 noch zwei. Wenn ich eine 5 durch 2*3 in der Summe ersetze, d.h. ich reduziere m um 1 und erhöhe n um 2, dann erhöht sich die Summe um 1. Wie oft muß ich also das m um 1 reduzieren und das n um 2 erhöhen, wenn sich die Summe um 2 erhöht? Zwei Mal, also ist m=4-2*1=4-2=2 und n=0+2*2=0+4=4 eine Lösung. Gibt es noch andere Lösungen? Wenn ich diese Schritte weiterdurchführe, reduziert sich m immer weiter, m darf aber nicht kleiner als 1 werden. Geht man den einen noch möglichen Schritt zu m=1, kommt man auf 23 (oder 20) mit dem 3-fachen von n, aber nie auf 22, also ist m=2, n=4 die einzige Lösung. Bei der Aufgabe b) gilt analoges, d.h. es ist richtig bis zu der Stelle: Zahlenpaare, die die Gleichung erfüllen, sind also (n,m)=(120-20m,m) Für m kann aber wieder nicht etwas beliebiges eingesetzt werden, da 120-20*m wieder eine natürliche Zahl sein muß! D.h.: 120 - 20*m = 20*(6 - m) ist eine natürliche Zahl. Das ist der Fall, wenn 6-m eine natürliche Zahl ist. Wann das der Fall ist, bekommst Du ja auch selber raus und das entsprechende n läßt sich für alle m ermitteln. Ich glaube auch, daß Du damit 7c) und 8b) hinbekommst, 8a) ist aber etwas schwieriger, weil hier nicht wie bisher immer eine Summe vorgegeben ist, sondern die 5 kleinsten Summen zu ermitteln sind. Hier gibt es allerdings ein einfaches und überschaubares Verfahren: Nimm die 5 kleinsten Gewichte an, die Du mit dem kleinsten Gewichtsstück abwiegen kannst. Das sind (ist hier 0 zulässig? Ich glaube nein!): 3, 6, 9, 12, 15 Jetzt nimm das zweitkleinste Gewichtsstück 1 Mal (dieses Verfahren funktioniert nämlich auch mit mehr als 2 verschiedenen Gewichtsstücken) und und schaue, ob das noch kleiner als das bisher 5. Gewicht ist, wenn nein, dann bist Du fertig (mit diesem Gewichtsstück und da es das kleinste von den verbliebenen war bist Du mit allen Gewichtsstücken fertig). Wenn ja, dann schaue, ob das Gewicht vielleicht bereits in der Liste steht. Wenn ja, dann mache einfach weiter. Wenn nein, dann ordne das gefundene Gewicht ein und streiche das bisher größte Gewicht. Das macht in dieser Aufgabe 5, das ist kleiner als 15 und noch nicht in der Liste, also neue Liste: 3, 5, 6, 9, 12 Von nun an mußt Du nur noch zum zweitkleinsten Gewicht ein Glied der Liste nach dem anderen dazuaddieren und genauso wie eben verfahren. Das macht hier: 5+3=8 : kleiner als 12 und noch nicht enthalten --> neue Liste : 3, 5, 6, 8, 9 5+5=10 : größer als 9 --> Abbruch Jetzt müßte man mit weiteren vorhandenen Gewichtsstücken genauso weitermachen (immer das kleinste noch nicht benutzte Gewicht zuerst), also zunächst das Gewichsstück selbst betrachten und dann die Liste von links nach rechts durchgehen. Wenn (wie hier) keine weiteren Gewichtsstücke mehr vorliegen, dann ist die letzte erzeugte Liste das Ergebnis: 3, 5, 6, 8, 9 Natürlich kann man im vorliegenden Fall das Ganze schneller erreichen, indem man z.B. eine kleine Tabelle (maximal 5x5) aufstellt und zeigt, daß 3 beliebige Gewichtsstücke ein Gesamtgewicht erzeugen, daß mindestens 9 kg ist, aber an anderer Stelle im Forum hat mal einer gesagt, es ist besser sich ein allgemeines Verfahren zu erarbeiten, denn in einer Matheklausur/-arbeit kann es sehr leicht vorkommen, daß die in einer Übungsaufgabe berechneten Dinge wiederkommen, allerdings mit einer kleinen Steigerung im Schwierigkeitsgrad. Diese Aufgabe hier ist dafür bestens geeignet! Und wenn am 4 Gewichte hat, bräuchte man eine vierdimensionale Tabelle, wie soll man die auf dem Papier noch sinnvoll/überschaubar darstellen? |
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